Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения

Механическое движение всегда относительно, поскольку положение тела в пространстве можно определить только по отношениюк какому-либо другому телу, которое можно рассматривать в качестве тела отсчета. С телом отсчета жестко связывают систему координат, позволяющую определить координаты тела в различные моменты времени. Тело отсчета вместе с системой координат называют системой отсчета. Механическое движение всегда наблюдают (рассматривают) в той или иной системе отсчета, при этом одно и то же движение выглядит по-разному в разных системах отсчета.

Тело отсчета— произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение остальных тел.

Система отсчета— совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета.

Наиболее употребительная система координат — прямоугольная (декартовая),т. е. ортонормированный базис которой образован тремя единичными по модулю и взаимно ортогональными векторами Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru , проведенными из начала координат.

Тогда положение точки в пространстве можно описать двумя способами:

1) векторным, т. е. задать радиус-вектор Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru . Радиус-вектором называется вектор, проведенный из начала координат в точку пространства, где в данный момент времени находится материальная точка;

2) координатным ‑ задать три координаты: x, y, z (рис. 1).

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru

Рис. 1

Положение точки А характеризуется радиус-вектором

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ,

где Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru – единичные векторы (орты), совпадающие с положительными направлениями соответствующих осей; Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru – проекции радиус-вектора и одновременно координаты материальной точки.

Модуль радиус-вектора Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru определяется выражением

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Движение материальной точки полностью определено, если декартовы координаты материальной точки заданы как функции времени:

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ; Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ; Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения точки. Они эквивалентны одному векторному уравнению движения точки:

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Вектор перемещения Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru — вектор, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени). Тогда вектор перемещения материальной точки из точки A в точку B определяется формулой (рис. 2)

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru

Модуль вектора перемещения

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru

Линия, описываемая движущейся материальной точкой (или телом) относительно выбранной системы отсчета называется траекторией. Уравнение траектории можно получить, исключив параметр t из кинематических уравнений. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейнымили криволинейным.

Длиной путиточки называется сумма длин всех участков траектории, пройденных этой точкой за рассматриваемый промежуток времени Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru . Длина пути является скалярнойфункцией времени. Величины Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru и Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru совпадают лишь в случае прямолинейного движения.

В пределе Δt →0 длина пути по хорде ΔS и длина хорды Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru будут все меньше отличаться от пути, поэтому: Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru

Рис. 2

Скорость

Скорость— это векторнаявеличина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.

Вектором средней скорости(перемещения) за интервал времени Δt называется отношение приращения Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru радиуса-вектора точки к промежутку времени Δt

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Направлениевектора средней скорости совпадает с направлением Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru . Единица скорости— м/с.

Средней (путевой) скоростью называется отношение пройденного точкой пути Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru к времени движения

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Средняя путевая скорость является скаляром.

Мгновенная скорость— это векторная величина, равная первой производной по времени от радиуса-вектора Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru рассматриваемой точки:

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ,

где Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru – проекции вектора мгновенной скорости на оси Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru , Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru , Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru , соответственно. Данная скорость является основной физической величиной, определяющей характер и направление движения.

Модуль вектора мгновенной скорости

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Вектор мгновенной скорости направлен по касательнойк траектории в сторону движения. Модуль мгновенной скорости (скалярнаявеличина) равен первой производной пути по времени.

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Из этой формулы получается важное следствие: Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Длина путиS, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2 , задается интегралом: Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru /

При прямолинейном движенииточки направление вектора скорости сохраняется неизменным. Движение точки называется равномерным, если модуль ее скорости не изменяется с течением времени (v = const), для него

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Если модуль скорости увеличивается с течением времени, то движение называется ускоренным, если же он убывает с течением времени, то движение называется замедленным.

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru

Ускорение

Ускорение— это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Среднее ускорениев интервале времени Δt — векторная величина, равная отношению изменения скорости Δυ к интервалу времени Δt:

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Мгновенным ускорением материальной точки называется векторная величина, определяемая следующим выражением:

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ,

где Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru – проекции ускорения Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru на оси Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru , Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru , Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru , соответственно.

Единица ускорения— м/с2.

Модуль вектора мгновенного ускорения

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Легко показать, что мгновенное ускорение является второй производной от радиус-вектора

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

В общем случае вектор мгновенного ускорения тоже может быть функцией времени Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru , тогда вводятся в рассмотрение производные по времени более высокого порядка, например

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Поскольку во многих случаях направление вектора ускорения заранее неизвестно, вектор ускорения удобно представить в виде векторной суммы

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

В этом случае вектор мгновенного ускорения Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru называют полным ускорением. Тогда Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru называется нормальным (центростремительным) ускорением и определяется следующим образом:

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ,

где Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru – радиус кривизны траектории в данной точке, численно равный радиусу окружности, которая сливается с траекторией на бесконечно малом ее участке; Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru – единичный вектор нормали, направленный к центру кривизны.

Модуль вектора нормального ускорения

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Нормальное ускорение направлено по нормали к траектории к центру ее кривизны O и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки.

Второе слагаемое полного ускорения называется тангенциальным ускорением

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ,

где Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru – единичный вектор, связанный с движущейся точкой и направленный по касательной к траектории по вектору скорости Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Модуль вектора тангенциального ускорения

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Тангенциальноеускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю (рис. 4). Вектор тангенциального ускорения может быть как сонаправлен с вектором мгновенной скорости Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru (равноускоренное движение), так и противоположен ей (равнозамедленное движение). Очевидно, если Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru – движение ускоренное; Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru – движение замедленное.

Модуль вектора полного ускорения при криволинейном движении

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru

Рис. 4. Направление векторов ускорения и скорости

Покажем как величина нормального ускорения Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru связана со скоростью υ движения по кругу и величиной радиуса R (рис. 5, а и б).

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru

Рис. 5

Для этого возьмем на траектории движения две близко расположенные точки 1 и 2, разделенные интервалом времени Δt (рис. 5,а). Перенесем вектор υ2 параллельно самому себе в точку 1 и, отложив на нем отрезок, равный по модулю вектору υ1, получим точку 3 (рис. б). Тогда вектор Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru можно представить в виде суммы двух векторов Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru . При Δt→ 0 углы α и β стремятся соответственно к 0° и 90°, поэтому вектор Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru , направленный по касательной к траектории, будет характеризовать изменение числового значения скорости, а вектор Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru будет перпендикулярен к Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru . Следовательно,

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru (1)

Длина дуги и расстояние по прямой между точками 1 и 2 (рис. 5, а) при малых Δt→dt будут равны dl1,2 = dS1,2 = vdt. Из подобия треугольников Δ102 (рис. 1.3а) и Δ1v13 (рис. 5, б) следует

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru , Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Радиус кривизны траектории представляет собой радиус окружности, которая совпадает с ней на данном участке траектории на бесконечно малом ее участке. Центр такой окружности называют центром кривизны для данной точки кривой. Если элемент участка траектории равен DS, то радиус кривизны траектории в данной точке определяют выражением:

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ,

где Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ‑ угол, в пределах которого заключен участок траектории DS. При прямолинейном движении нормальное ускорение отсутствует, так как при этом радиус кривизны R®¥. Величина обратная радиусу кривизны называется кривизной: Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru

Рис. 6. Примеры различных радиусов кривизны траектории

Основной задачей кинематики является определение состояния материальной точки (ее радиус-вектора Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru и скорости Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru в произвольный момент времени t). Для этого необходимо, задать, во-первых, начальные условия – радиус-вектор Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru и скорость Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru в начальный момент времени t = t0и, во-вторых, зависимость ускорения Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru от времени t. Тогда, используя понятия интеграла, для Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru и Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru можно записать следующие выражения:

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru , Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ; Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ,

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru , Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru , Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Рассмотрим конкретный вид приведенных уравнений для некоторых частных случаев движения материальной точки.

1. Равнопеременное движение – это движение тела с постоянным ускорением ( Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ). При выборе начального момента времени t0равным нулю, получим:

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ;

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru . (2)

Формулы (2) позволяют, например, описать движение брошенного под углом к горизонту тела без учета сил сопротивления воздуха ( Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ) при его движении по параболической траектории.

Векторная запись уравнений (2) оказывается удобной в силу ее «компактности» записи, однако, при решении конкретных задач, особенно в случае трехмерного движения, эти уравнения превращаются в систему из шести проекционных уравнений следующего вида:

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru

2. Равнопеременное прямолинейное движение( Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ; Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ) будет наблюдаться в тех случаях, когда векторы ускорения Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru и начальной скорости Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru будут либо параллельны друг к другу, либо направлены в противоположные стороны, либо вектор Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru будет равен нулю: Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru . В этих случаях проекция уравнений (1) на ось OX, направленную вдоль линии движения тела, приводит к следующим выражениям:

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru ;

Система отсчета. Траектория, путь, вектор перемещения - student2.ru .

Наши рекомендации