Диференціювання параметрично заданих функцій

Тема: Диференціювання неявних і параметрично заданих функцій. Рівняння дотичної і до кривої

Диференціювання неявно заданих функцій

Нехай функція y = y(x) задана неявно рівнянням F(x, y) = 0. Для знаходження похідної цієї функції потрібно про­диференціювати обидві частини заданого рівняння по x, вважаючи y функцією від x, а потім з одержаної рівності виразити .

Приклад. Знайти , якщо y(x) визначається рівнянням:

y = cos (x + y).

Розв’язання.

; ;

; ;

; .

З наведеного прикладу видно, що похідна неявної функції ви­ражається через незалежну змінну і саму функцію.

Диференціювання параметрично заданих функцій

Нехай функція y = y(x) задана параметрично рівняннями

(T₀ £ t £ T₁),

де x(t), y(t) – диференційовні функції від t. Потрібно знайти похідну функції y = y(x), тобто .

Похідну функції, заданої параметрично шукають за формулою .

Приклад. Знайти , якщо x = R(t – sin t), y = R(1 – cos t).

Розв’язання. Зна­ходимо та : = R(1 – cos t), = Rsin t. Тепер

.