EF—жесткость поперечного сечения бруса при растяжении—сжатии

Таблица 3.2

Материал	, МПа
Сталь легированная Чугун серый Стекло Медь прокатная Алюминиевая проволока	(2,1 — 2,2) • 105 (1,15 —1,6) • 105 0,56 105 1,10 105 0,70 105

Деформация бруса(растяжение или сжатие) вызывает перемещение поперечных сечений. На рис. 3.6 показан брус, каждое волокно которого удлиняется на величину

- (здесь ),

а сечение — перемещается в положение — на величину .

Рис. 3.6Рис. 3.7

В этом случае:

.

Рассмотрим брус, показанный на рис. 3.7. Левый участок бруса деформируется и сечение — перемещается в положение — на величину ; правый участок не деформируется (нет продольной силы) и каждое его сечение оказывается перемещенным на эту же величину . Сечение т — тпереместится на столько же, насколько переместилось сечение — :

.

Рассмотрим случай, когда продольная сила есть на обоих участках рассматриваемого бруса (рис. 3.8). Перемещение сечения т — т ( ) (правое сечение) зависит от перемещения сечения — ( ) и перемещения сечения т — т относительно сечения п — п ( ):

,

где .

Рис. 3.8

Для рассматриваемого при­мера (EF= const):

;

.

Перемещение можно получить, используя не внутренние усилия , а внешние силы. Рассуждаем так: сила только участок длиной сила растягивает весь брус длиной :

.

Используя полученные значения, построим эпюру перемещений (рис. 3.8). Учитываем, что в заделке перемещение равно нулю( ).

При перемещении бруса от действиясобственноговеса (рис. 3.9), считая вес груза сосредоточенным в середине длины , получим

,

Рис. 3.9

где — вес бруса длиной ; — удельный вес материала.

Базовые вопросы

1. Какая деформация называется центральным растяжением (сжатием)?

2. Как вычислить значение продольной силы в поперечном сечении бруса (стерж­ня)?

3. Что такое абсолютная продольная деформация? Абсолютная поперечнаядеформация?

4. Что такое относительная продольная деформация? Относительная поперечная деформация?

5. Что называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентомПуассона)?

6. Что называется модулем упругости Е?

7. Какие формулы, выражающие закон Гука, Вы знаете?

87 . Как определить перемещение произвольного сечения?

Задача. Ступенчатый брус нагружен силами Р₁, Р₂, Р₃, (рис.2,а).

Требуется построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s, продольных перемещений D и проверить, вы­по­лняется ли условие прочно­с­ти.

Числовые данные к задаче выбираются по табл. 1.

Например: кН, кН, кН, м м, м; .

Для всех вариантов принимается: ; .

1. Построение эпюры N.

На брус действуют три си­лы, следовательно, про­­до­льная си­ла по его длине будет изменяться. Разбиваем брус на участки, в пределах которых про­­до­льная сила будет постоянной. В данном случае границами участков являются сечения, в ко­­торых приложены силы. Обозначим сечения буквамиА, В, С, D, начиная со свободного конца, в данном случае правого.

Рис. 2. Расчетная схема бруса и эпюры: а‑ расчетная схема; б‑ эпюра продольных сил; в‑ эпюра напряжений; г‑ эпюра продольных перемещений

Для определения продольной силы на каждом участке рассматриваем про­извольное поперечное сечение, сила в котором определяется по пра­вилу, приведенному ранее. Чтобы не определять предварительно реакцию в заделке D, начинаем расчеты со свободного конца бруса А.

Участок АВ, сечение 1-1. Справа от сечения действует растягивающая сила (рис. 2, а). В соответствии с упомянутым ранее правилом, по­лу­ча­ем

Участок ВС, сечение 2-2. Справа от него расположены две силы, на­правленные в разные стороны. С учетом правила знаков, получим

Участок СD, сечение 3-3: аналогично получаем

По найденным значениям N в выбранном масштабе строим эпюру, учи­тывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянна (рис.2.5)

Положительные значения N откладываем вверх от оси эпюры, отри­ца­тель­ные - вниз.

2. Построение эпюры напряжений s.

По формуле (1.1) вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка бруса:

;

;

.

При вычислении нормальных напряжений значения продольных сил N берутся по эпюре с учетом их знаков. Знак плюс соответствует растя­же­нию, минус - сжатию. Эпюра напряжений показана на рис. 2, в.

3. Построение эпюры продольных перемещений.

Для построения эпюры перемещений вычисляем абсолютные удли­нения отдельных участков бруса, используя закон Гука (1.8):

;

.

Определяем перемещения сечений, начиная с неподвижного за­кре­плен­ного конца. Сечение D расположено в заделке, оно не может сме­щать­сяи его пере­мещение равно нулю:

СечениеС переместится в результате изменения длины участка CD. Пе­ремещение сечения С определяется по формуле

.

При отрицательной (сжимающей) силе точкаС сместится влево.

Пере­мещение сеченияВявляется результатом изменения длин DC и CB. Скл­а­дывая их удлинения, получаем

.

Рассуждая аналогично, вычисляем перемещение сеченияА:

.

В выбранном масштабе откладываем от исходной оси значения вычис­лен­ных перемещений. Соединив полученные точки прямыми линиями, стр­о­­­им эпю­ру перемещений (рис. 2, г).

4. Проверка прочности бруса.

Условие прочности записывается в следующем виде:

.

Максимальное напряжение находим по эпюре напряжений, выби­рая максимальное по абсолютной величине:

.

Это напряжение действует на участке DC, все сечения которого являются опасным.

Допускаемое напряжение вычисляем по формуле (1.13):

.

Сравнивая и , видим, что условие прочности не выполняется, так как максимальное напряжение превышает допускаемое.