Уравнение Шредингера. Волновая функция

Опыты Резерфорда

Fk = , ½qe½ - заряд ядра.

= × . (1)

(2)

rn = 4pe0 × . (3)

r1 = 0,529 × 10-10 м, радиус n орбиты rn = r1 × n2.

Еn = Епот n + Екин n = - + . (4)

= , откуда

Еn = - .

Еn = - × , где n = 1, 2, 3, … (5)

Е1 = -2,17 × 10-18 Дж = -13,6 эВ.

hn = Еп – Ек = . (6)

= . (7)

R = 1,097 · 107 1/м.

Достоинства и недостатки теории Бора.

Элементы квантовой механики

Гипотеза де Бройля, волновые свойства частиц

«В оптике в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновыми; не не делалась ли в теории вещества обратная ошибка?»

.

Если масса частицы 1 г и ее скорость 1 м/с, то ей соответствует волна де Бройля с м.

Для электронов же с энергиями от 1 эВ до 10 000 эВ длина волны де Бройля лежит в пределах от ~ 1 нм до 10−2 нм, (рентгеновское излучение). Поэтому волновые свойства электронов должны проявляться, например, при их рассеянии на тех же кристаллах, на которых наблюдается дифракция рентгеновских лучей.

фотопластинка

пучок

электронов

металлическая фольга

Принцип неопределенности Гайзенберга

Уравнение Шредингера. Волновая функция

(x,y,z,t)

Для стационарных состояний

Свойства

1. Однозначна,

2. конечна,

3. непрерывна,

4. . условие нормировки

Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме

Вероятность нахождения частицы в областях x < 0 и x > a равна нулю, так что волновая функция Ψ(x) = 0. В центральной части мы положили для удобства U(x) = 0 .

В этом случае уравнение Шредингера принимает вид

,

где m и E – масса и полная энергия частицы.

.

.

Постоянные A, α и β мы найдем из условий непрерывности волновой функции и нормировки. На левой границе Ψ(0) = Asin(α) = 0 дает α = 0. На правой границе Ψ(a) = Asin(βa) = 0 приводит к βa = πn, где n = 1, 2, 3, ... Нулевое значение n в ряд допустимых значений не входит, т.к. иначе волновая функция везде бы обращалась в ноль. Движение частицы в потенциальной яме описывается набором волновых функций

.

Условие нормировки

.

.

Самым важным результатом является то, что возможны только такие состояния, для которых E принимает одно из дискретных значений. Введенное выше число n называют квантовым числом. Значения En называют уровнями энергии. Говорят, что частица находится в квантовом состоянии n, если ее движение описывается волновой функцией Ψn(x). Три первых уровня энергии, соответствующие им волновые функции Ψ(x) и квадраты волновых функций изображены на рисунке 2.

.

Чем меньше масса частицы и ширина области движения, больше ΔE. Для электрона (масса порядка 10-30 кг) в атоме (размер порядка 10-10 м) получим ΔE ~ 10 эВ, а для молекулы (масса ~ 10-27 кг) в сосуде (размер порядка 10-1 м) – ΔE ~ 10-20 эВ. В последнем случае (ширина ямы макроскопических масштабов) энергию молекулы можно считать непрерывно изменяющейся величиной.

Характерные значения

Число Нуссельта всегда больше или равно 1. То есть тепловой поток за счёт конвекции всегда превышает по своей величине тепловой поток за счёт теплопроводности.

Обычно для ламинарных течений число Нуссельта находится в диапазоне от 1 до 20. Большие числа Нуссельта (>100) свидетельствуют о сильном конвективном тепловом потоке, что является характеристикой турбулентных течений.

Для течений жидкости в каналах можно показать, что для установившегося ламинарного течения Nu = 4,36 (при условии, что тепловой поток в стенку постоянен) и Nu = 3,66 (при условии, что постоянна температура стенки).