Волны в упругих средах

Волна – процесс распространения колебаний в пространстве.

В волне в упругой среде (газ, жидкость, твердое тело) происходят колебания малых частиц среды. Продольные волны – частицы среды совершают колебания вдоль направления рас-пространения волны (звуковые волны). Поперечные волны – направление колебаний пер-пендикулярно напрвавлению распространения волны (волна в струне).

Обозначим через смещение частиц среды в волне относительно их положения равновесия. Тогда распределение смещений чатиц вдоль направления распространенния волны имеет вид, представленный на рис. 1. Длина волны – расстояние между ближайшими точками среды, в которых колебания частиц происходят в одинаковой фазе (например, расстояние между двумя “горбами”). Скорость волны – скорость перемещения фазы колебаний частиц (скорость движения “горба”). Поэтому такую скорость называют фазовой скоростью. Из этих определений следует соотношение

, где - период колебаний частиц.

Уравнением волны называют зависимость

.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, в которых колебания частиц в волне происходят в одинаковой фазе. В простейшем случае плоской волны волновая поверхность представляет собой плоскость.

Получим уравнение плоской волны. Пусть в плоскости клебания частиц пароисходят по закону , где . Через время фаза колебаний в точке достигнет точки . Следовательно для смещений в точке получим

.

Это соотношение называется уравнением плоской волны. Для записи уравнения волны удобно ввести волновое число - . Тогда и выражение для принимает вид:

. (1)

Такая форма уравнения обычно и используется при рассмотрении волновых процессов. Уравнение (1) описывает волну, распространяющуюся в положительном направлении оси . Для волны в противоположном направлении

.

Мы будем рассматривать волны малой амплитуды. Для таких волн выполняется принцип суперпозиции

.

Он означает, что результатом взаимодействия двух или большего числа волн малой ампли-туды является сумма смещений частиц в каждой волне. Поэтому волны малой амплитуды называют линейными волнами. Волны большой амплитуды явлются нелинейными. Их взаимодействие происходит по более сложным законам.

Уравнение (1) соответствует случаю монохроматической волны ( ). Этот термин сначала возник в оптике, но в дальнейшем стал использоваться и для волн в упругих средах.

Монохроматическая волна явлется некоторой идеализацией. На практике мы обычно имеем дело с ограниченными волновыми возмущениями (волновыми пакетами). Именно такие процессы переносят энергию и импульс в пространстве. При это пакет волн можно предста-вить в виде суммы (или группы) монохроматических волн. Он движется как целое с групповой скоростью. Для выяснения физического смысла этих понятий рассмотрим прос-тейший пример группы волн – две волны с одинаковыми амплитудами и близкими частота- ми и длинами волн:

, ,

где , . По принципу суперпозиции суммарное смещение частиц в пакете

.

Такой процесс называется биением волн. В этом случае основная волна модулируется по амплитуде огибающей волной с малой частотой и большой длиной волны (рис. 2). Очевидно, групповая скорость в нашем случае равна фазовой скорости огибающей волны

.

В пределе при получим

.

Значит, чтобы найти групповую скорость нужно знать зависимость . Такая зависимость называется дисперсионным уравнением. В частности, для звука в газе (нет дисперсии) и в этом случае , то есть групповая скорость совпадает с фазовой. Например, для волн на поверхности воды имеет место дисперсия и .

ЛЕКЦИЯ 17