Конечномерные пространства

Пусть и — конечномерные векторные пространства над полем , — базис в , — базис в . Тензорным произведением пространств и будем называть векторное пространство, порождённое элементами , называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение произвольных векторов можно определить, полагая операцию билинейной:

При этом тензорное произведение произвольных векторов и выражается как линейная комбинация базисных векторов . Элементы в , представимые в виде , называются разложимыми.

Хотя тензорное произведение пространств определяется через выбор базисов, его геометрические свойства не зависят от этого выбора.

БИЛЕТ 10

1 Спин (от англ. spin — вертеть[-ся], вращение) — собственный момент импульса элементарных частиц, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением частицы как целого. Спином называют также собственный момент импульса атомного ядра или атома; в этом случае спин определяется как векторная сумма (вычисленная по правилам сложения моментов в квантовой механике) спинов элементарных частиц, образующих систему, и орбитальных моментов этих частиц, обусловленных их движением внутри системы.

Спин измеряется в единицах ħ^[1] (приведённой постоянной Планка, или постоянной Дирака) и равен ħJ, где J — характерное для каждого сорта частиц целое (в том числе нулевое) или полуцелое положительное число — так называемое спиновое квантовое число, которое обычно называют просто спином (одно из квантовых чисел).

В связи с этим говорят о целом или полуцелом спине частицы.

Существование спина в системе тождественных взаимодействующих частиц является причиной нового квантовомеханического явления, не имеющего аналогии в классической механике: обменного взаимодействия.

Вектор спина является единственной величиной, характеризующей ориентацию частицы в квантовой механике^[2]. Из этого положения следует, что: при нулевом спине у частицы не может существовать никаких векторных и тензорных характеристик; векторные свойства частиц могут описываться только аксиальными векторами; частицы могут иметь магнитные дипольные моменты и не могут иметь электрических дипольных моментов; частицы могут иметь электрический квадрупольный момент и не могут иметь магнитный квадрупольный момент; отличный от нуля квадрупольный момент возможен лишь у частиц при спине, не меньшем единицы^[3].

Спиновый момент электрона или другой элементарной частицы, однозначно отделённый от орбитального момента, никогда не может быть определён посредством опытов, к которым применимо классическое понятие траектории частицы^[4].

Число компонент волновой функции, описывающей элементарную частицу в квантовой механике, растёт с ростом спина элементарной частицы. Элементарные частицы со спином описываются однокомпонентной волновой функцией (скаляр), со спином описываются двухкомпонентной волновой функцией (спинор), со спином описываются четырёхкомпонентной волновой функцией (вектор), со спином описываются шестикомпонентной волновой функцией (тензор

2

Билет 11

1

2 Матрица плотности (оператор плотности, оператор матрица плотности, статистический оператор) — один из способов описания состояния квантовомеханическойсистемы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так и смешанные состояния. Основанный на понятии оператора плотности формализм был предложен Дж. фон Нейманом^[1] и независимо Л. Д. Ландау^[2] в 1927 году^[3] иФ. Блохом в 1946 году.

Оператор плотности — это неотрицательный самосопряженный оператор с единичным следом, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве. Равенство следа единице соответствует единичной нормировке полной вероятности на данном пространстве состояний.

В качестве стандартного обозначения для оператора плотности применяется буква . Оператором плотности, отвечающим чистому состоянию является ортогональный проектор

что позволяет его представить в виде

.

Смешанное состояние, отвечающее случаю, когда система находится в каждом из взаимно ортогональных состояний с вероятностью , описывается оператором плотности вида

где

Среднее значение наблюдаемой для состояния, заданного матрицей плотности , представляет собой след произведения операторов и :

.

Несложно видеть, что обычное правило нахождения средней от наблюдаемой для чистых состояний представляет собой частный случай этой формулы.

Билет 12

1 Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор U : H → H на гильбертовом пространстве H, который удовлетворяет соотношению

где U^∗ — эрмитово сопряжённый к U оператор, и I : H → H единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

1. U сохраняет скалярное произведение 〈 , 〉 гильбертового пространства, то есть, для всех векторов x и y в гильбертовом пространстве,

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

1. U сохраняет скалярное произведение, и

2. образ U — плотное множество.

Чтобы увидеть это, заметим, что U изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что U сохраняет скалярное произведение. Тот факт, что образ U - плотное множество. Очевидно, что U⁻¹ = U^∗.

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре, элемент U алгебры называется унитарным элементом если

где I единичный элемент.^[1]

Свойства унитарных преобразований:

· оператор унитарного преобразования всегда обратим

· если оператор эрмитов, то оператор унитарен.

Принцип детерминизма Лапласа можно сформулировать так: опираясь на законы физики и точно зная начальное состояние любой замкнутой системы возможно точно предсказать состояние этой системы в любой момент времени. Пример простой - кидаем камень, зная все начальные параметры, в итоге может посчитать когда и куда он упадет. С появлением квантовой механики появился детерминизм Шредингера. Он гласит : опираясь на законы физики и точно зная начальное состояние любой замкнутой системы возможно точно предсказать вероятность того или иного состояния этой системы в любой момент времени. Пример тоже простой: есть атом радиоактивного материала, известна энергия и момент импульса мы может рассчитать какая будет вероятность у этого атома распасться через 1 час.

Не смотря на существенные отличия детерминизм Шредингера является дополнением детерминизма Лапласа. Также как квантовая механика является дополнением классической. Если речь идет о макрообъектах, таких как камень то для него вероятность обнаружения с заданном месте практически равна 100% и один детерминизм сам собой переходит в другой.

БИЛЕТ 13

1 Гамильтониа́н ( или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. Функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.

Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для Кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряжённым оператором.

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если — состояние системы в момент времени t, то

Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.

По свойству *-гомоморфизма, оператор

унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.

Если Гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.

Если у частицы нет потенциальной энергии, то Гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

и для трёх измерений:

Потенциальная яма[править | править вики-текст]

Для частицы в постоянном потенциале V = V₀ (нет зависимости от координаты и времени), в одном измерении, Гамильтониан такой:

В трёх измерениях:

2 Ква́нтовая запу́танность^[1][2] (см. раздел «Название явления в русскоязычных источниках») — квантовомеханическое явление, при котором квантовые состояния двух или большего числа объектов оказываются взаимозависимыми. Такая взаимозависимость сохраняется, даже если эти объекты разнесены в пространстве за пределы любых известных взаимодействий, что находится в логическом противоречии с принципом локальности. Например, можно получить пару фотонов, находящихся в запутанном состоянии, и тогда если при измерении спина первой частицы спиральность оказывается положительной, то спиральность второй всегда оказывается отрицательной, и наоборот.

БИЛЕТ 14

1 пдф

2 В более поздних интерпретациях квантовой теории роль наблюдателя подчеркивалась в значительно большей степени, чем в ранних.

Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера

iħ(∂Ψ/∂t) = ĤΨ

представляющее собой математическое описание изменения волновой функции Ψ во времени; здесь Н — гамильтониан, или оператор энергии, а h == ħ/2n, где ħ — постоянная Планка. Первоначально волновая функция отождествлялась с классическим полем, распределенным в пространстве аналогично электромагнитному полю. Согласно Э. Шредингеру, который предложил эту интерпретацию волновой функции, стационарным состояниям атома соответствуют собственные колебания поля. В отличие от Э. Шредингера, Л. де Бройль рассматривал поле

' В. И. Ленин. Пола. собр. соч., т. 29, стр. 322.

как носитель частиц. Такого рода модель получила название волны-пилота.

В изложенных интерпретациях квантовой механики наблюдатель не играл качественно новой роли в структуре физического знания по сравнению с его ролью в классических теориях, например в механике Ньютона или электродинамике Максвелла. Однако, как выяснилось в дальнейшем, эти интерпретации были ошибочными в физическом отношении. Было установлено, что волновую функцию нельзя рассматривать как описание поля и волн в классическом их смысле. В связи с этим М. Борн предложил понимание волновой функции, согласно которому последняя описывает особого рода волны — так называемые волны вероятности. Борновская интерпретация привела к новой постановке вопроса о роли наблюдателя в структуре квантовой механики.

В новой интерпретации волновая функция уже не отождествлялась с классическим полем, а рассматривалась как описание измерений, проводимых над квантовым объектом. Квадрату модуля волновой функции соответствуют вероятности исходов таких измерений. Если мы запишем волновую функцию в координатном представлении, то квадрат ее модуля — |Ψ|^2, помноженный на элемент конфигурационного пространства dq,определит вероятность того, что измерения квантового объекта обнаружат его в этом элементе dq.

Сама по себе вероятностная трактовка волновой функции не содержит в себе ничего идеалистического. Наоборот, она является более глубокой в физическом отношении, полнее соответствует природе квантовых объектов. Именно с ней были связаны последующие достижения квантовой механики. Но вместе с тем она явилась предпосылкой одного из вариантов операционалистской интерпретации квантовой механики, согласно которому эта теория описывает не объективные законы микромира, а измерительные операции наблюдателя.

Квантовая механика, принимающая вероятностную трактовку волновой функции, конечно, не эквивалентна операционалистской точке зрения. Операционализм в квантовой механике представляет собой такую же односторонность, как и в специальной теории относительности. Для его критики важное значение имеет уточнение понятий «прибор», «измерение».

БИЛЕТ 15

1 конспект

БИЛЕТ 16

1 пдф

2 конспект

Билет 17

1 Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

где — постоянная Планка, — масса частицы, — потенциальная энергия, — полная энергия, — волновая функция. Для полной постановки задачи о нахождении решения надо задать также граничные условия, которые представляются в общем виде для интервала

где — константы. Квантовая механика рассматривает решения уравнения , с граничными условиями и .

В общем виде решения уравнения , с граничными условиями и не существует, но при некотором выборе потенциальной энергии можно найти точные решения. Они играют важную роль в построении аналитических приближенных решений уравнения .