Закон изменения количества движения

Применим к подвижному объему Закон изменения количества движения - student2.ru жидкости (рис. 4.4) теорему об изменении количества движения. Для этого в (4.6) положим Закон изменения количества движения - student2.ru , тогда имеем:

Закон изменения количества движения - student2.ru , (4.19)

где в правой части стоит сумма всех внешних сил, действующих на частицы, заключенных внутри объема Закон изменения количества движения - student2.ru ; сумма всех внутренних сил равна нулю, как известно, равна нулю: Закон изменения количества движения - student2.ru .

Переходя к контрольному объему Закон изменения количества движения - student2.ru и контрольной поверхности Закон изменения количества движения - student2.ru , можно записать

Закон изменения количества движения - student2.ru .

Учитывая, что на поверхностях Закон изменения количества движения - student2.ru непроницаемых тел Закон изменения количества движения - student2.ru , последнее уравнение можно записать в следующем виде:

Закон изменения количества движения - student2.ru . (4.20)

Это равенство означает: изменение количества движения жидкости, заключенной внутри контрольной поверхности, в единицу времени равно потоку количества движения через контрольную поверхность плюс сумма всех внешних сил, действующих на частицы жидкости, находящиеся внутри контрольного объема.

Дадим характеристику этих сил. Как и все силы, внешние силы можно разбить на массовые (например, сила тяжести) и поверхностные (силы, действующие только на поверхности контрольного объема):

а. Поверхностные силы, действующие на границах твердых тел Закон изменения количества движения - student2.ru , представляет собой реакции опор Закон изменения количества движения - student2.ru :

Закон изменения количества движения - student2.ru , (4.21)

где Закон изменения количества движения - student2.ru — вектор напряжения в точках поверхности Закон изменения количества движения - student2.ru с нормалью Закон изменения количества движения - student2.ru . Если вектор напряжения разложить на нормальную к поверхности Закон изменения количества движения - student2.ru и касательную части, т. е.

Закон изменения количества движения - student2.ru , (4.22)

то вектор Закон изменения количества движения - student2.ru будет состоять из двух частей:

Закон изменения количества движения - student2.ru . (4.23)

Первая из них является главным вектором нормальных составляющих реакций опор, вторая - главным вектором касательных составляющих реакций опор. Отметим, что абсолютная величина Закон изменения количества движения - student2.ru нормальной составляющей вектора напряжений в случае покоящейся жидкости, а также для идеальной жидкости в точности равна давлению Закон изменения количества движения - student2.ru , а при движении вязкой жидкости весьма близка к этой величине;

б. В число поверхностных сил необходимо включить силы, действующие вдоль поверхностей Закон изменения количества движения - student2.ru и Закон изменения количества движения - student2.ru , т.е. силы, Действующие на жидкость в контрольном объеме со стороны окружающей жидкости:

Закон изменения количества движения - student2.ru . (4.24)

Эти силы можно также разбить на два вектора, как и в формуле (4.23). В частности, для идеальной жидкости этот вектор выражается через давление Закон изменения количества движения - student2.ru поверхностным итегралом

Закон изменения количества движения - student2.ru ;

в. Наиболее распространенной массовой силой является сила тяжести. Глвный вектор Закон изменения количества движения - student2.ru сил тяжести, приложенных к частицам жидкости внутри контрольного объема, представляется объемным интегралом

Закон изменения количества движения - student2.ru ,

где Закон изменения количества движения - student2.ru — вектор ускорения силы тяжести.

С учетом (4.21) – (4.24) уравнение (4.20) можно представить в следующем виде:

Закон изменения количества движения - student2.ru . (4.25)

Для установившегося течения Закон изменения количества движения - student2.ru , поэтому уравнение изменения количества движения в интегральной форме имеет более простой вид:

Закон изменения количества движения - student2.ru . (4.26)

В частном случае течения жидкости в трубке тока (см. рис. 4.5) формулу (4.26) можно еще более упростить. Применив теорему о среднем к интегралам, стоящим в левой части равенства (4.26), можно вынести из-под знака интеграла значения векторов скорости Закон изменения количества движения - student2.ru , взятые в некоторых средних точках сечений Закон изменения количества движения - student2.ru и Закон изменения количества движения - student2.ru , соответственно:

Закон изменения количества движения - student2.ru ,

причем в большинстве случаев эти значения близки к средним значениям Закон изменения количества движения - student2.ru и Закон изменения количества движения - student2.ru скоростей, определенных формулой (3.2). Поскольку в установишемся течении

Закон изменения количества движения - student2.ru ,

то получаем следующее уравнение:

Закон изменения количества движения - student2.ru . (4.27)

Уравнение изменения количества движения жидкости для установившегося течения в трубке тока, записанное в форме (4.27), является исходным для решения многих практически важных задач гидравлики. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Реакция изогнутого под прямым углом участка трубопровода. Вычислим силы, действующие со стороны жидкости, движущейся по изогнутому под прямым углом участку трубопровода (колену), на трубопровод. Рассмотрим сначала случай колена расположенного в горизонтальной плоскости (рис.4.6).

Закон изменения количества движения - student2.ru

Рис. 4.6. Вычисление реакции жидкости на трубу

при повороте потока на 900

Выберем контрольную поверхность так, как это показано на рис. 4.6, и вычислим проекции действующих сил на оси ОХ и ОY. Имеем:

Закон изменения количества движения - student2.ru

Поскольку сила тяжести Закон изменения количества движения - student2.ru направлена по оси Закон изменения количества движения - student2.ru вертикально вниз, то Закон изменения количества движения - student2.ru .

Предположим далее, что в сечении Закон изменения количества движения - student2.ru средняя скорость направлена вдоль оси ОY, а в сечении Закон изменения количества движения - student2.ru - вдоль оси ОХ. Тогда имеют место следующие равенства:

Закон изменения количества движения - student2.ru

где Закон изменения количества движения - student2.ru - величина скорости Закон изменения количества движения - student2.ru , а Закон изменения количества движения - student2.ru - величина скорости Закон изменения количества движения - student2.ru . Используя эти равенства, получаем:

Закон изменения количества движения - student2.ru (4.28)

Если теперь пренебречь касательными составляющими вектора Закон изменения количества движения - student2.ru в сечениях Закон изменения количества движения - student2.ru и Закон изменения количества движения - student2.ru по сравнению с нормальными составляющими, то Закон изменения количества движения - student2.ru и Закон изменения количества движения - student2.ru можно принять в следующем виде:

Закон изменения количества движения - student2.ru

Из (4.28)получаем:

Закон изменения количества движения - student2.ru (4.29)

Если, наконец, учесть, что Закон изменения количества движения - student2.ru , то получим выражения для составляющих Закон изменения количества движения - student2.ru и Закон изменения количества движения - student2.ru сил, действующих на поток жидкости, изменяющей направление на 900:

Закон изменения количества движения - student2.ru (4.30)

Компоненты силы Закон изменения количества движения - student2.ru реакции, действующей со стороны жидкости на колено трубы, определяются согласно третьему закону Ньютона, как Закон изменения количества движения - student2.ru , поэтому.

Закон изменения количества движения - student2.ru (4.31)

Если изогутое колено трубопровода расположено в вертикальной плоскости, то формулы для составляющих Закон изменения количества движения - student2.ru и Закон изменения количества движения - student2.ru реакции имеют вид:

Закон изменения количества движения - student2.ru (4.32)

где Закон изменения количества движения - student2.ru - вес жидкости в трубе между сечениями 1-2.

Пример 2.Реактивная сила струи газа, вытекающей из сосуда. Вычислим силу реакции струи газа, вытекающей из сосуда, на этот сосуд. Если объем сосуда достаточно большой, то процесс истечения в течение какого-то промежутка времени газа можно считать установившимся.

Для вычисления используем теорему об изменении количества движения в форме (4.26). Контрольную поверхность выберем состоящей из двух частей: Закон изменения количества движения - student2.ru внутренней поверхности сосуда и Закон изменения количества движения - student2.ru поверхности среза сопла (рис. 4.7). Имеем:

Закон изменения количества движения - student2.ru

где

Закон изменения количества движения - student2.ru

Закон изменения количества движения - student2.ru Закон изменения количества движения - student2.ru Закон изменения количества движения - student2.ru

Закон изменения количества движения - student2.ru

Рис. 4.7. Вычисление реактивной силы истечения газа

Проектируя это равенство на ось ОХ, получим

Закон изменения количества движения - student2.ru

Если считать, что скорость Закон изменения количества движения - student2.ru газа и давление Закон изменения количества движения - student2.ru распределены по сечению Закон изменения количества движения - student2.ru сопла равномерно, то

Закон изменения количества движения - student2.ru

где Закон изменения количества движения - student2.ru плотность и давление газа на срезе сопла, соответственно. Из полученного уравнения находим составляющую Закон изменения количества движения - student2.ru :

Закон изменения количества движения - student2.ru .

Сила Закон изменения количества движения - student2.ru реакции струи газа, т.е. сила, действующая на сосуд со стороны истекающего газа, дается величиной с противопложным знаком:

Закон изменения количества движения - student2.ru (4.33)

На практике, однако, интерес представляет избыточная сила, действующая со стороны газа на сосуд. Если, сосуд окружен, например, воздухом с постоянным давлением Закон изменения количества движения - student2.ru , то сила, действующая со стороны воздуха на внешнюю поверхность сосуда, выражается интегралом

Закон изменения количества движения - student2.ru

Добавляя к этому выражению и вычитая из него интеграл от Закон изменения количества движения - student2.ru по сечению Закон изменения количества движения - student2.ru среза сопла, получаем:

Закон изменения количества движения - student2.ru

Здесь, в частности, учтено, что интеграл по замкнутой поверхности от единичного вектора нормали к этой поверхности равен нулю. Избыточная сила, действующая со стороны газа на сосуд, равна:

Закон изменения количества движения - student2.ru (4. Закон изменения количества движения - student2.ru )

Замечание. Плотность Закон изменения количества движения - student2.ru газа на срезе сопла в общем случае не равна начальной плотности Закон изменения количества движения - student2.ru газа в сосуде и определяется режимом истечения.

Пример 3. Задача о воздейстии струи жидкости на плоскую преграду.Вычислим силу нормального давления, которое оказывает струя жидкости на плоскую преграду (рис. 4.8).

Закон изменения количества движения - student2.ru

Рис. 4.8. Воздействие струи жидкости на плоскую преграду

Считается, что струя жидкости вытекает из трубы с площадью поперечного сечения Закон изменения количества движения - student2.ru и имеет среднею скорость Закон изменения количества движения - student2.ru , направленную под углом Закон изменения количества движения - student2.ru к горизонту. Течение жидкости считается установившимя, сжатием струи пренебрегается.

Для расчета используем интегральную теорему об изменении количества движения в форме (4.26). Выберем контрольную поверхность Закон изменения количества движения - student2.ru , как это показано пунктирной линией на рис. 4.8, и применим к объему жидкости, заключенному внутри контрольной поверхности, теорему об изменении количества движения, спроектировав все силы на ось Закон изменения количества движения - student2.ru . Имеем:

Закон изменения количества движения - student2.ru (4.34)

Рассмотрим по отдельности слагаемые, входящие в обе части этого уравнения:

а. Поверхность Закон изменения количества движения - student2.ru состоит из двух частей: Закон изменения количества движения - student2.ru - поперечного сечения трубы, и Закон изменения количества движения - student2.ru - свободной поверхности струи. Поскольку на свободной поверхности струи Закон изменения количества движения - student2.ru , то в (4.34) остается лишь интеграл по срезу трубы:

Закон изменения количества движения - student2.ru . (4.35)

б. Поверхность Закон изменения количества движения - student2.ru также состоит из двух частей: Закон изменения количества движения - student2.ru и Закон изменения количества движения - student2.ru , через которые жидкость вытекает из контрольного объема, растекаясь по плоскости преграды. Так как скорость жидкости в этих сечениях направлена перпендикулярно оси ОХ, то Закон изменения количества движения - student2.ru , следовательно:

Закон изменения количества движения - student2.ru ; (4.36)

в. Поскольку вектор Закон изменения количества движения - student2.ru силы тяжести перпендикулярен оси ОХ, то

Закон изменения количества движения - student2.ru ; (4.37)

г). Вычислим составляющую Закон изменения количества движения - student2.ru сил давления струи на плоскость преграды. Имеем:

Закон изменения количества движения - student2.ru

На свободной поверхности Закон изменения количества движения - student2.ru струи давление равно атмосферному Закон изменения количества движения - student2.ru . Весьма близки к атмосферному давленю также давления в сечениях Закон изменения количества движения - student2.ru , Закон изменения количества движения - student2.ru и Закон изменения количества движения - student2.ru , о чем свидетельствует отсутствие составляющих вектора скорости, перпендикулярных к нормалям этих сечений. Поэтому можно написать:

Закон изменения количества движения - student2.ru .

Добавляя и вычитая к правой части интеграл от Закон изменения количества движения - student2.ru по участку Закон изменения количества движения - student2.ru Закон изменения количества движения - student2.ru контрольной поверхности, получаем:

Закон изменения количества движения - student2.ru .

Учитывая, что интеграл от Закон изменения количества движения - student2.ru по замкнутой поверхности Закон изменения количества движения - student2.ru равен 0 (потому что алгебраическая проекция любой замкнутой поверхности на плоскость равна 0), получаем:

Закон изменения количества движения - student2.ru . (4.38)

Подставляя равенства (4.35) - (4.38) в (4.34), находим

Закон изменения количества движения - student2.ru

или

Закон изменения количества движения - student2.ru .

Величина Закон изменения количества движения - student2.ru представляет собой силу, действующую со стороны преграды на жидкость. Поэтому сила Закон изменения количества движения - student2.ru давления жидкости на прегрду определяется той же величиной, но взятой с обратным знаком Закон изменения количества движения - student2.ru . Если принять, что давление с другой стороны преграды равно атмосферному, т.е. уравновешивающая сила равна произведению Закон изменения количества движения - student2.ru , то формула для силы давления струи на плоскую преграду имеет вид:

Закон изменения количества движения - student2.ru . (4.39)

Наши рекомендации