Плоская система произвольных сил

В большинстве задач теоретической механики имеют дело с несвободными телами, которые тем или иным способом соединены с другими телами, ограничивающими свободу перемещения несвободных тел. Тела, ограничивающие свободу перемещения рассматриваемого тела, называются связями. Если данное тело под действием приложенных к нему силовых факторов будет давить на связь, то и связь будет действовать на тело, препятствуя его движению с силой, которая называется реакцией связи (или реакцией). По четвертой аксиоме статики реакция равна по модулю давлению на связь и направлена в сторону, противоположную этой силе. К несвободному телу применяют уравнения равновесия, если в число действующих сил включить и силы реакций связей (по шестой аксиоме статики). Схемы подобного рода используются при расчетах конструкций воздушных судов и их двигателей.

Существующее многообразие опор механических конструкций сводится к трем основным типам (рисунок 9).

Рисунок 9 – Основные типы опор: а – шарнирно-подвижная; б – шарнирно-неподвижная; в – защемление

В шарнирно-подвижной опоре, где связь не препятствует горизонтальному перемещению, возникает только нормальная реакция R_A (рисунок 9, а). В шарнирно-неподвижной опоре, препятствующей и горизонтальному, и вертикальному перемещениям, реакция связи неизвестна ни по модулю, ни по направлению. В этом случае применяют разложение неизвестной реакции на горизонтальную X_A и вертикальную Y_A составляющие (рисунок 9, б). Составляющие реакции неизвестны только по модулю. После их определения по уравнениям равновесия можно найти полную реакцию R_A по третьей аксиоме статики и ее направление по уравнениям направляющих косинусов. При разложении реакции на составляющие можно не обращать внимания на правильность выбора их направлений. Если в действительности составляющая будет направлена в противоположную сторону, то при вычислениях для нее будет получено отрицательное значение. В защемлении, препятствующем любому перемещению и вращению, кроме неизвестной в общем случае по модулю и направлению реакции, возникает реактивный момент m_R (рисунок 9, в), направление вращательного действия которого определяется полученным при вычислениях положительным или отрицательным значением.

Вертикальная сосредоточенная сила F вызывает в опорах только вертикальные реакции; наклонная сила F₁в шарнирно-неподвижной опоре и в защемлении вызовет наклонные реакции (рисунок 10, а). Для их определения следует применять разложение сил и реакций на составляющие по горизонтальной и вертикальной осям.

Распределенная нагрузка интенсивностью p сводится к

равнодействующей сосредоточенной силе(для случая равномерно распределенной нагрузки); линия действия равнодействующей P будет проходить через центр тяжести той фигуры, которую образует на чертеже распределенная нагрузка (рисунок 10, б) – в указанном случае это прямоугольник.

Действие вращающего момента М полностью определяется его модулем и направлением (знаком момента) и учитывается только в уравнениях моментов (рисунок 10, в).

Рисунок 10 – Силовые факторы в конструкциях:

а – сосредоточенные силы; б – равномерно распределенная нагрузка;

в – вращающий момент

Пример 4. Определение реакций опор

Двухконсольная балка AD нагружена сосредоточенной силой F = 4 кН, равномерно распределенными нагрузками p₁= 1 кН/м и p₂= 2 кН/м, моментом М = 2 кН·м. Угол

= 60° (рисунок 11, а). Определить реакции опор.

Рисунок 11 – Двухконсольная балка:

а – схема балки; б – схема действия сил

Заменим равномерно распределенные нагрузки равнодействующими сосредоточенными силами:

Р₁ = 1 кН/м ·2 м = 2 кН; Р₂ = 2 кН/м ·1,5 м = 3 кН.

Рассмотрим равновесие балки, на которую действуют активные нагрузки P_1,P₂, F, M. Отбросим связи, заменив их действие в шарнирно-подвижной опоре В одной вертикальной реакцией R_B, а в шарнирно-неподвижной опоре С двумя составляющими реакции X_C и Y_C (рисунок 11, б). При трех неизвестных задача статически определима.

Выберем положительные направления осей x и y. Составим уравнения равновесия:

(11)

(12)

(13)

Из уравнения (11)

Из уравнения (12)

Из уравнения (13)

кН.

Следовательно, составляющая реакции Х_С направлена в противоположную сторону.

Модуль реакции в опоре С:

кН.

Направление реакции R_C :

Учитывая направление составляющей реакции Х_С, определим:

- угол между осью x и R_C : 180 – 73.74 = 106,26°;

- угол между осью y и R_C равен 16,26°, в результате 106,26° – 16,26° = 90° (рисунок 12).

Рисунок 12 – Направление реакции в опоре С

Задание 4

Аналитически на основании уравнений равновесия определить реакции в опорах балочных конструкций, нагруженных различными активными силами. Предварительно упростить системы сил, определив равнодействующую равномерно распределенной нагрузки и точку приложения линии ее действия. Выяснить типы опор и возможные направления их реакций. Конструктивные схемы балок приведены в таблице 6, численные данные к заданию приведены в таблице 7.

Таблица 6 – Схемы балок

Продолжение таблицы 6

Окончание таблицы 6

Таблица 7 –Исходные данные для задания 4

Номер схемы	F1, кН	F2, кН	p, кН/м	M, кН·м	a, м	b, м	c, м	d, м	, град.
		-	-					-
	-			-
				-	-
		-			-
		-	-					-
	-
	-	-
		-
	-			-			-
			-					-
		-		-		-
		-		-			-	-
			-		-
		-				-
	-			-
		-		-		-
		-
	-					-
			-
	-			-
			-
		-
			-
		-				-
		-		-		-
	-					-
			-
	-			-	-
			-					-

ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ

Решение плоских ферм заключается в определении усилий в их стержнях. В конструкциях плоских ферм, основанных на применении неизменяемого конструктивного модуля – треугольника, все усилия действуют вдоль стержней, приводя либо к их растяжению, либо к сжатию. Предварительно определяют реакции опор из уравнений равновесия с обязательной проверкой решения. Усилия в стержнях определяются методами вырезания узлов или моментных точек (метод Риттера).

Метод вырезания узлов состоит в последовательном вырезании каждого из шарнирных узлов фермы и рассмотрении их равновесия под действием приложенных к узлу активных сил, включая и реакции связей, и усилия в перерезанных стержнях. В рассматриваемом узле может быть не более двух стержней с неизвестными усилиями, так как для плоской системы сходящихся сил можно составить только два уравнения равновесия. При рассмотрении равновесия каждого узла усилия перерезанных стержней направляют от узла, считая, что все стержни растянуты. Если в результате расчета усилие в стержне получится со знаком «+», то стержень растянут, если со знаком «–» – стержень сжат. В последующих решениях ранее определенное усилие подставляется в уравнения равновесия со своим знаком.