Законы сохранения в механике

Механическая система – совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое.

Системы бывают:

a) замкнутые (изолированные), на которые действуют внешние силы (нет взаимодействия с внешней средой);

б) не замкнутые (не изолированные), на которые действуют внешние силы.

Все законы сохранения в основном даются для замкнутых систем.

Законы сохранения импульса – геометрическая сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой:

,

где – импульс тела.

Импульс (количество движения) – мера механического движения. Применение такой меры допустимо, если передача механического движения от одного тела к другому, происходит без превращения в другие формы движения материи.

Механическое движение может переходить в другие виды материи (в тепловое, электромагнитное действие и др.). Переходы осуществляются в строго определенных количествах соотношениях. Общей мерой для всех видов движения материи является энергия.

Энергия – мера количества любых видов движения материи (тела).

Единство материи и движения нашло наиболее общее выражение в формуле Эйнштейна:

∆E = ∆mc²,

где c – скорость света в вакууме,

∆E – изменение энергии.

Эта формула говорит о том, что увеличение или уменьшение энергии (т.е. количества определенной формы движения), всегда происходит с увеличением или уменьшением массы (т.е. количества формы материи).

Поскольку энергия – мера движения, то её можно количественно выразить через параметрическое состояние системы, т.е. энергия – функция состояния.

Работа – мера передачи действия (в частном случае механического) от одного тела к другому в процессе взаимодействия.

Работа – мера измерения энергии.

Если материальная точка (тело) под действием внешней силы совершила перемещение , то производится работа A.

или

работа равна скалярному произведению силы на перемещение. Работа – скалярная величина.

Из уравнения работы следует:

а) если α = 0, то – максимальна работа совершенная силой направленной вдоль перемещения;

б) если , то A > 0 – работа совершается за счёт энергии тела, со стороны которого действует сила;

в) если или , то A = 0 – работа совершается за счет энергии движущегося тела против сил сопротивления (в частности сил трения).

Если работа совершается в однородном постоянном силовом поле, то:

- работа по замкнутому пути равна нулю;

- работа не зависит от формы пути, а определяется положением начальной и конечной точек пути.

Мощность – физическая величина, характеризующая скорость работы A:

Если сила F = const, то N = F·v, где v – скорость движения.

К механической энергии относят два вида энергии – кинетическую E_к и потенциальную ∆Е_п. Чтобы получить выражение энергии в виде функции параметров состояния механического движения, легче это сделать, если учесть, что изменение энергии ∆Е пропорционально работе A:

Выразить работу A = , где – действующая сила и перемещение:

,

где v₂ и v₁ – конечная и начальная скорость перемещения, получается:

Величина – называется кинетической энергией тела, а полученный результат для работы силы называют теоремой о кинетической энергии, которая выполняется для сил любой природы, в том числе и для переменных сил.

Энергия, обусловленная, взаимным расположением тел или частей одного и того же тела и характером их взаимодействия называется потенциальной энергией.

Если материальная точка (тело) перемещается и скорость в начальной и конечной точках траектории равна нулю, значит в результате совершенной работы произошло изменение не кинетической формы энергии, а потенциальной. Изменения потенциальной энергии ∆Е_п зависят от относительного изменения взаимного расположения взаимодействующих тел. Потенциальная энергия относится не только к выбранной материальной точек, но и ко всей системе и представляет энергию взаимодействия тел (поднятый над Землёй камень и земля – потенциальная энергия взаимодействия камня и Земли).

Изменение потенциальной энергии ∆Е_п также определяется работой, совершаемой силами, действующими на материальную точку при её перемещении.

Данное уравнение не дает полного определения величины потенциальной энергии в каждой точке, а определяет лишь изменение потенциальной энергии при переходе от точки к точке. Абсолютная величина Е_пзависит от выбора начала отсчета потенциальной энергии (где потенциальная энергия равна нулю).

Выбор уровня с нулевой энергии произволен (или бесконечность, или поверхность Земли и т.д.).

Если работа силы по любой замкнутой траектории равна нулю, то такие силы называют консервативными или потенциальными. К ним относятся силы тяжести, упругости, электростатического взаимодействия. Вид выражения для потенциальной энергии зависит от вида действующей силы:

а) для силы тяжести:

Е_п = mgh,

где h – высота над поверхностью Земли (или выбранного нулевого уровня).

б) для силы упругости:

,

где x – смещение от нулевого положения – точки, где x = 0.

Сумма кинетической E_k и потенциальной E_n энергий тела называют полной механической энергией E:

Для замкнутой системы материальных тел выполняются закон сохранения механической энергии – при любых процессах, происходящих в системе тел, её полная механическая энергия остается постоянной:

Если система незамкнутая, то изменение полной механической энергии (её уменьшение) равно работе внешних сил (например, работе против сил сопротивления):

.

В механизмах и машинах нельзя получить больше работы, чем затрачено энергии. К тому же часть энергии теряется (на преодоление силы трения, обращается в тепло), поэтому полезная работа A_nмашины всегда меньше затраченной работы А_з (A_n < А_з). Величина, показывающая какую долю составляет полезная работа от всей совершенной (затраченной), называется коэффициентом полезного действия (КПД).

КПД(ŋ) равен выраженному в процентах отношению полезной работы к затраченной:

КПД также можно выразить и через мощность:

Ударом называется столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время.

Центральным ударом называется удар, при котором тела до удара движутся вдоль прямой, проходящий через их центры масс.

Абсолютно упругий удар – это удар, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остаётся никаких деформаций и тела после взаимодействия движутся раздельно.

Для случая прямого центрального абсолютно упругого удара выполняются:

а) закон сохранения импульса:

б) закон сохранения кинетической энергии:

где v₂ и v₁ – скорости тела до удара,

v΄₂ и v΄₁ – скорости после удара.

Столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое тело, называются абсолютно неупругим ударом.

Для случая прямого центрального абсолютного удара применимы:

а) закон сохранения импульса:

б) закон сохранения кинетической энергии с учетом “потери” энергии Е потерь на деформацию:

,

где v₂ и v₁– скорости тела до удара,

v– скорость единого тела после соударения.

Пример. Тело массой 2 кг при скорости 9 м/с начинает двигаться по инерции по горизонтальной поверхности. Определите работу силы трения, совершаемую с начала этого движения до уменьшения начальной скорости втрое.

Изменение полной механической энергии тела равно работе силы трения

Так как ,то

где Е_к1, E_k2 - кинетические энергии тела в конце и начале движения.Поскольку

Работа силы трения А_тр < 0, так как v₂ < v₁. Подставим значения:

Ответ: работа силы трения равна - 72 Дж.