Конвективные потоки, возникающие над тепловыми источниками компактной формы
Найдем распределение скорости движения и температуры воздуха в конвективном потоке, образованном компактным тепловым источником небольших размеров. Воспользуемся цилиндрическими координатами z и r. Ось z направим вертикально вверх от центра теплового источника. R будем обозначать расстояние произвольной точки пространства до оси z.
Решение задачи строится на следующих четырех предпосылках:
Приращение импульса конвективного потока между поперечными сечениями на уровнях z и z+dz равно подъемной силе dPz , действующей на нагретый воздух, находящийся между этими же сечениями:
(2.46)
Количество тепла Qz, проводимое нагретым воздухом через произвольное поперечное сечение конвективного потока, равно конвективной теплопроизводительности источника Q0
(2.47)
Распределение скорости в поперечном сечении конвективного потока подчиняется нормальному закону распределения
(2.48)
где v – скорость нагретого воздуха соответственно в произвольной точке и на оси конвективного потока.
Распределение избыточных температур также подчиняется нормальному закону
(2.49)
|
(2.50)
(2.51)
c = 0.082, s = 0.8 – эмпирические константы.
Импульс конвективного потока представляет собой произведение потока массы на скорость и в условиях неравномерно распределения скорости выражается интегралом
(2.52)
где (2.53)
Решая (2.52) получим
(2.54)
Приращение подъемной силы следует из закона Архимеда и в условиях неравномерного распределения плотности воздуха по площади поперечного сечения выражается интегралом
(2.55)
Уравнение газового состояния позволяет заменить избыточную плотность воздуха избыточной температурой
(2.56)
Теперь выражение (2) можно записать иначе:
(2.57)
Совместное решение последнего уравнения с уравнениями (3.1), (3.4) и (3.8) определяет приращение текущего импульса конвективного потока
(2.58)
Количество избыточного тепла, проводимого через поперечное сечение конвективного потока в условиях неравномерного распределения скорости и температуры, выражается интегралом
(2.59)
(2.60)
Конвективная теплопроизводительность источника Q0 является количественной характеристикой теплового источника и должна войти в виде параметра во все расчетные формулы.
Мы получили систему трех уравнений, содержащих четыре переменные: текущий импульс потока Iz , скорость и избыточную температуру на оси потока vz , DT и уровень произвольного поперечного сечения потока z.
Исключим из (2.58) избыточную температуру DTz :
(2.61)
Из уравнения (2.60) исключим vz. В результате получим дифференциальное уравнение, связывающее текущий импульс и произвольный уровень конвективного потока:
(2.62)
Проинтегрируем уравнение в пределах от нуля до текущих значений функции и аргумента
(2.63)
Получим выражение, показывающее, как изменяется импульс конвективного потока с высотой:
(2.64)
Далее получим значение скорости на оси конвективного потока
, (2.65)
а с помощью уравнения (3.15) – значение избыточной температуры на оси конвективного потока
(2.66)
Подстановка значений осевой скорости и избыточной температуры в уравнения (2.65) и (2.66) приводит к зависимостям, при помощи которых можно оценить вертикальную составляющую скорости движения и избыточную температуру воздуха в любой точке пространства:
(2.67)
Если уравнения (2.67) относительно радиуса, получим формулы для построения линий равных скоростей (изотах) и избыточных температур (изотерм).
|
Секундный объемный поток нагретого воздуха в поперечном сечении конвективного потока выражается интегралом
(2.68)
Подстановка в эту формулу осевой скорости (из формулы 3.22) приводит к уравнению расхода воздуха в конвективном потоке на уровне z:
(2.69)
Кинетическая энергия, которой обладает конвективный поток на произвольном уровне, выражается интегралом
(2.70)
Интегрируя, получим:
(2.71)
Кинетическая энергия конвективного потока увеличивается пропорционально тепловой мощности источника и пройденному пути. Найдем скорость радиального движения окружающего воздуха по направлению к конвективному потоку.
Приращение секундного объема воздуха восходящего потока на элементарном участке высотой определится дифференцированием (3.24):
(2.72)
Элементарная площадь , через которую окружающая среда подтекает к конвективному потоку, представляет собой боковую поверхность цилиндра радиусом к и высотой :
(2.73)
Почленное деление (3.27) на (3.28) дает формулу, в которой скорость радиального движения среды к конвективному потоку представлена в зависимости от координат:
. (2.74)
Полученные формулы применимы для свободно развивающихся тепловых потоков, не стесненных ограничивающими поверхностями.