Проекция силы на ось. Момент силы относительно точки и оси

Предмет теоретической механики. Этапы развития. Основные понятия теоретической механики.

Механикой называется наука о простейшей форме движения материи — о механическом движении. Простейшими являются движения, сводимые к перемещениям во времени физических тел из одного положения в пространстве в другое.

Теоретическая механика изучает наиболее общие законы механического движения. Она не учитывает индивидуальные свойства физических тел, за исключением двух: свойства протяженности и свойства гравитации (свойства частиц материи тяготеть друг к другу или обладать весом).

К числу основных понятий относится механическая сила. Механическая сила есть движение, в механической форме передаваемое от одного тела к другому при их взаимодействии.

Многочисленные наблюдения показали, что сила характеризуется величиной, направлением и точкой приложения. Сила относится к векторным величинам.

Под движением в механике мы понимаем механическое движение, т. е. происходящее с течением времени изменение взаимного положения материальных тел в пространстве.

Механическим взаимодействием между телами называется тот вид взаимодействия, в результате которого происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация).

По своему построению теоретическая механика напоминает геометрию: в ее основе также лежат определения, аксиомы и теоремы. По характеру рассматриваемых задач механику принято разделять на статику, кинематику и динамику.

В статике изучаются методы преобразования сил, приложенных к материальной точке и абсолютно твердому телу, а также условия их равновесия.

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение без учета действующих сил.

Изучением механического движения материальной точки, системы и абсолютно твердого тела с учетом действующих сил занимается динамика.

Основной задачей теоретической механики является изучение общих законов движения и равновесия материальных тел под действием приложенных к ним сил.

Термин «механика» впервые появляется в сочинениях одного из выдающихся философов древности Аристотеля (384—322 до н. э.) и происходит от греческого слова, означающего по современным понятиям «сооружение», «машина», «изобретение»

В древние времена, когда запросы производства сводились главным образом к удовлетворению нужд строительной техники, начинает развиваться учение о так называемых простейших машинах (блок, ворот, рычаг, наклонная плоскость) и общее учение о равновесии тел (статика). Обоснование начал статики содержится уже в сочинения одного из великих ученых Архимеда (287 – 212 г. но н. э.).

В России на развитие первых исследований по механике большое влияние оказали труды гениального ученого и мыслителя М. В. Ломоносова (1711—1765), М. В. Остроградского (1801—1861), П. Л. Чебышева (1821—1894), С. В. Ковалевской (1850—1891), И. В. Мещерского (1859—1935и т.д.

Выдающееся значение для развития механики имели труды «отца русской авиации» Н. Е. Жуковского (1847—1921) и его ближайшего ученика С. А. Чаплыгина (1869—1942). Характерной чертой в творчестве Н. Е. Жуковского было приложение методов механики к решению актуальных технических задач.

Введение в статику. Предмет статики. Основные задачи статики. Основные понятия статики.

Статика — это раздел теоретической механики, в котором устанавливаются методы преобразования одних систем сил в другие, им эквивалентные, а также условия равновесия различных систем сил, действующих на твердое тело.

В статике рассматриваются две основные задачи:

-замена дополнительной системы сил приложенных к твердому телу другой системой сил ей эквивалентной;

-вывод общих условий, при которых твердое тело под действием приложенных к нему сил остаются в состоянии покоя или в состоянии равномерного прямолинейного поступательного движения.

Основные понятия статики:

Материальная точка— это простейшая модель материального тела любой формы, размеры которого достаточно малы и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.

Механическая система— это любая совокупность материальных точек.

Абсолютно твердое тело— это механическая система, расстояние между точками которой не изменяется при любых взаимодействиях.

Сила— это одна из векторных мер действия одного материального объекта на другой рассматриваемый объект. Сила характеризуется числовым значением, а также точкой приложения и направлением действия. Это векторная величина и обозначается она, например, . Ее действие на тело определяется: 1) численной величиной или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы. Предполагается, что действие силы на тело не изменится, если ее перенести по линии действия в любую точку тела (твердого тела). Поэтому вектор силы называют скользящим вектором. Если силу перенести в точку, не расположенную на этой линии, действие ее на тело будет совсем другим.

Система сил— это совокупность сил, действующих на рассматриваемое тело.

Система сил, эквивалентная нулю (равновесная система сил),— это такая система сил, действие которой на твердое тело или точку, находящиеся в покое или движущиеся по инерции, не приводит к изменению его состояния.

Проекция силы на ось. Момент силы относительно точки и оси.

Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и направлением силы.

Если проекцию силы F на ось х обозначить F_x ,то согласно приведенному определению Fx = F cos(F,x) или Fx = F cosa_x

где F – модуль силы; a_x – угол между положительным направлением оси и силой F.

Из второй формулы видно, что знак проекции силы на ось зависит от знака косинуса угла a_x: проекция будет положительной, если a_x < 90° и отрицательной, если a_x > 90°.

Моментом сил относительно точки называется взятое с соответствующим знаком произведение величины силы на ее плечо.

Плечом силы относительно точки называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы

Момент силы относительно точки зависит не только от её модуля, но и от расстояния от линии действия силы до возможной оси вращения (плеча силы).

Часто такой момент называют алгебраическим.

Этот момент численно равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке

Векторным моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы.

Момент силы относительно точки считается положительным, если сила стремится повернуть плоскость, проходящую через линию ее действия и моментную точку, против часовой стрелки. В противном случае этот момент будет отрицательным. Если линия действия силы проходит через точку по отношению к которой определяется момент, то момент равен нулю.

Моментом силы относительно оси называется момент проекции этой силы на перпендикулярную к оси плоскость относительно точки пересечения оси и плоскости

На рисунке задана произвольная плоскость П, перпендикулярная оси Z. т.О - точка пересечения оси Z и плоскости П, h - плечо проекции силы F на плоскость П относительно точки О.

Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на перпендикулярную к оси плоскость стремится повернуть эту плоскость вокруг положительного направления оси против часовой стрелки. В противном случае указанный момент будет отрицательным. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Аксиомы статики.

Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собой результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой.

Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F₁ = F₂) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может.

Аксиома 2. Действие данной системы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил. Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.

Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , называется геометрической суммой векторов и : = + . Конечно, + . Такое равенство будет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по одной пря­мой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярными, то , если нет то равнодействующая . Аксиому 3 можно еще формулировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и приложенную в той же точке.

Аксиома 4. При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие. Закон о равенстве действия и противодействия является одним из основных законов механики. Из него следует, что если тело А действует на тело В с силой , то одновременно тело В действует на тело А с такой же по модулю и направленной вдоль той же прямой, но противоположную сторону силой =- . Однако силы и не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены к разным телам.

Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым).

Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сваренными друг с другом и т. д.