И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕНИЙ. Понятие тензора (от латинского tendo — напрягаю, растягиваю) принадлежит к числу

ТЕНЗОРЫ

Понятие тензора (от латинского tendo — напрягаю, растягиваю) принадлежит к числу основных, фундаментальных математических понятий и широко применяется сейчас в механике, электродинамике, теории относительности и т. д. Первоначально возникшее в рабо­тах XIX века по теории упругости, оно было систематически иссле­довано в 1886 —1901 гг. итальянским геометром Г. Рйччи-Курбастро (1853—1925) и итальянским математиком и механиком Т. Лёви-Чивйта (1873—1942). Внимание к новому аппарату существенно возросло после создания в 1915 —1916 гг. великим ученым, физиком А. Эйнштейном (1879 — 1955) общей теории относительности, мате­матическая часть которой целиком основана на тензорном исчислении. Физические величины, которые нам встре­чались до сих пор, были либо скалярными, либо векторными. Однако существуют физические величины более сложной природы.

Например, однородное напряженное состоя­ние упругого тела характеризуется плотностью р силы, с которой одна часть тела действует на другую через мысленно вы­деленную плоскость (Q) (рис. 1); однако при этом р для различных направлений плоскости (Q) будет различным. Таким образом, вели­чина, характеризующая напряженное состояние, уже не является вектором, она представляет собой тензор 2-го ранга (определение см. в п. 2). Оказывается, что и многие другие важные величины, характеризующие состояние сплошных сред, также являются тен­зорами. Рис. 1.

К настоящему времени тензорная алгебра, а также тензорный анализ (т. е. теория тензорных полей, связанная с применением диф­ференцирования и интегрирования) представляют собой значительно разработанные дисциплины. В этой главе мы осветим лишь самые простые вопросы. Специально тензорному исчислению посвящен ряд книг, из которых мы укажем на [15, 53, 79, 99, 110]; главы, содер­жащие основы тензорного исчисления, имеются также в [39, 98, 103] и в других книгах.

§ 1. Тензорная алгебра

1. Примеры.К понятию тензора можно прийти уже размышляя над описанием векторов в обычном пространстве с помощью чисел. Как известно из векторной алгебры, все действия над векторами удобно осуществлять, выбрав евклидов базис i, j, k, после чего можно любой вектор а разложить по этому базису

а = а_хi + а_уj+ a_zk (1)

и взамен действий над векторами осуществлять действия над их про­екциями, т. е. над числами — коэффициентами разложений. Более того, даже задавать конкретные векторы обычно бывает удобнее с помощью разложения (1), чем каким-то геометрическим способом.

Однако задумаемся теперь, что это за векторы i, j, k. В некото­рых случаях, когда в задаче имеется естественная система отсчета направлений (например, во многих задачах статики), эти векторы можно описать вполне точно, «привязав» их к данным задачи. Но во многих случаях привлечение такой «абсолютной» системы отсчета является весьма искусственным либо вообще невозможно. Тогда по­лучается на первый взгляд парадокс: мы пользуемся проекциями вполне определенного вектора, которые зависят от выбора базиса, но не уточняем, как этот базис выбирается...

Эта трудность будет преодолена, если с самого начала отка­заться от выбора какого-то одного базиса, а считать, что все ба­зисы равноправны и каждому выбору базиса i, j, k отвечает на­бор значений а_х, а_у, а_z в соответствии с формулой (1). Подобный набор величин, приобретающих определенные значения лишь после выбора базиса и преобразующихся по определенному правилу при за­мене базиса (см. ниже), и называется тензором (или тензорной вели­чиной), а сами эти величины, составляющие в определенном порядке тензор, называются его компонентами. (Отметим некоторое несо­ответствие: в векторной алгебре принято компонентами вектора A называть в е к торы а_х\, а_у\, a_zk. Однако в этой главе мы будем компонентами называть величины а_х, а , а_г.)

Оказывается, удобнее писать е_х, е₃, е₃ И a_lt a_a, а₃ вместо

i, j, k и а_х, а а_г, так что

з

а = а»е, + а„е₂ + а₃е₃ = 2 afit-

В тензорном исчислении принято не писать знак суммы по повто­ряющемуся индексу, а при повторении индекса всегда осуществлять такое суммирование, т. е. писать последнюю формулу в виде

а = ap_t ( - я,е,. = a_ke_h = ...). (2)

Здесь индекс суммирования является немым и может быть обозна­чен любой буквой, а пределы суммирования определяются размер­ностью пространства, в котором рассматривается тензор.

Лекция 2. § 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕНИЙ

Для изучения движения сплошной среды в связи с причинами, которые это движение вызывают, вводят понятие о силах. Силы могут быть внешними и внутренними. Первые являются следствием воздействия на рассматриваемое тело других тел, а вторые возникают в результате взаимодействия элементов данного тела. Внешние и внутренние силы могут быть двоякого рода: объемные (или массовые) и поверхностные. Объемная сила действует на массу, заключенную в произвольном элементе объема тела, например сила тяжести.

Рис. 4. Схема действия массовых и поверхностных сил в объеме V

Пусть (x,t)— объемная сила, отнесенная к единице объема. Тогда сила, действующая на бесконечно малый объем dV, равна

dV, а на объем V—равна dV (рис. 1).

Поверхностная сила действует на элементы, которые можно мысленно выделить внутри тела или на его поверхности.

Сила, действующая на бесконечно малый элемент поверхности dS, равна dS, где — вектор силы, рассчитанный на единицу площади элемента и приложенный в любой его точке, называется вектором напряжения или просто напряжением (см. рис. 1).

Напряжение зависит от положения элемента dS, т. е. от ориентировки его

в теле. Если требуется указать, что напряжение относится к площадке с нормалью п, то пишут .

Проекции этого вектора на оси произвольной системы координат Ох₁х₂х₃ обозначаются через σ_nj (j=1, 2, 3). В частности, проекции напряжений _xi, отнесенные к площадкам, перпендикулярным к координатным осям Ox_i, обозначаются через σ_ij (i,j = 1,2,3), где σ_ii называются нормальными напряжениями, а σ_ij = σ_ji (i≠j) — касательными напряжениями, действующими на этих площадках (рис. 5). Легко доказать следующие очень важные соотношения:

σ_nj = ( i, j = 1,2,3), (1.29)

которые позволяют найти компоненты вектора напряжения для произвольной площадки с нормалью , проходящей через точку М; α_i = cos(n, х_i) (i = 1, 2, 3).

Поэтому говорят, что совокупность шести величин σ_ij, называемых компонентами симметричного тензора напряжений, полностью характеризует напряженное состояние в точке тела М.

Рис. 5. Расположение компонент тензора напряжений относительно выбранной декартовой системы координат

Рис. 6. Векторы напряжений в точке М, действующие в двух произвольно ориентированных площадках

Рис. 7. Нормальная и касательная проекции вектора напряжения

Пусть заданы две площадки, проходящие через одну и ту же точку М (рис. 6). Используя формулу (1.29), нетрудно доказать, что проекция напряжения , действующего на первую площадку, на нормаль ко второй равна проекции напряжения , действующего на вторую площадку, на нормаль к первой и вычисляется по формуле

(1.30)

где α_1i и α_2j — направляющие косинусы нормалей и . Эта формула позволяет вычислить проекцию на любое направление вектора напряжения, действующего на данную площадку. В частности, проектируя вектор на направление нормали, получаем нормальное напряжение (рис. 7)

(1.31)

Касательное напряжение на этой же площадке равно

(1.32)

где σ_n — величина вектора напряжения .

Из формулы (1.30) следуют формулы перехода от одной системы Ох₁х₂х₃ координат к другой О ;

(1.33)

где σ'_кr — компоненты тензора напряжений относительно новой системы координат;

α_кi = cos( ), α_rj = cos( ).

Например, зависимость между напряжениями в декартовой (Ох₁х₂х₃) и цилиндрической (r, θ, z) системах координат с общей осью Ox₃ = Oz имеет вид

σ_rr = σ₁₁cos²θ + σ₂₂ sin²θ + σ₁₂ sin 2θ;

σ_θθ= σ₁₁ sin²θ + σ₂₂ cos²θ - σ₁₂ sin 2θ;

σ_zz = σ₃₃; (1.34)

σ_rθ = ( σ₂₂ - σ₁₁)sin 2θ + σ₁₂ cos2θ;

σ_rz = σ₁₃ cosθ + σ₂₃sin θ;

σ_θz= - σ₁₃ sinθ + σ₂₃ cosθ;

где σ_rr—радиальное напряжение, действующее на площадке, перпендикулярной к радиусу; σ_θθ — тангенциальное (окружное) напряжение, действующее на площадке, нормаль которой перпендикулярна к радиусу.

Принимая во внимание известные соотношения аналитической геометрии

из формул (1.33) после суммирования левой и правой частей по к (при r = к) получается важное соотношение

(1.35)

Оно показывает, что величина σ, называемая средним нормальным напряжением, инвариантна по отношению к преобразованию системы координат.

Характерной особенностью напряженного состояния сплошной среды является наличие в каждой точке тела, по крайней мере, трех взаимно перпендикулярных площадок, на которых касательные напряжения σ_ij (i≠j) равны нулю. Направления нормалей к этим площадкам образуют главные направления, которые не зависят от исходной системы координат. Соответствующие напряжения σ_ii=σ_i называются главными нормальными напряжениями. Поэтому любое напряженное состояние в рассматриваемой точке может быть вызвано растяжением (сжатием) окрестности точки в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

Главные нормальные напряжения могут быть найдены из следующего кубического уравнения:

корни этого уравнения могут быть только вещественными.

Так как решения этого уравнения х_i = σ_i (i=1,2,3) не зависят от выбора системы координат, коэффициенты σ, А, В также не должны зависеть, т. е. они инвариантны. Это еще одно доказательство инвариантности среднего напряжения

(1.36)

Два других инварианта физического смысла не имеют.

(1.37)

Рис. 8. Диаграмма Мора:

/, 2, 3 — окружности, координаты которых определяют нормальные и касательные напряжения на площадках, проходящих через главные оси 1, 2, 3 соответственно

Если главные направления совпадают с координатными осями (Ох_i), то формулы (1.31) — (1.34) упрощаются. Например, формулы (1.31) и (1.32) принимают вид

(1.38)

где α_i= cos (n, x_i).

Отсюда нетрудно получить, что напряжения р_п и τ_n могут лежать только внутри области, заштрихованной на рис.8. Это так называемая диаграмма Мора, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Здесь принята нумерация главных осей такой, чтобы выполнялись условия

σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ (1.39)

Практический интерес представляют сечения, проходящие через главные оси. На рис. 8 точкам какой-либо окружности 1, 2 или 3 отвечают площадки, содержащие соответствующую главную ось.

Если площадка содержит главную ось Ox₁ и наклонена под углом θ к оси Ох₂, то из формул (1.38) получается

Эти напряжения соответствуют координатам точек окружности № 1 (см. рис. 8).

По аналогии можно записать формулы для напряжений, действующих на площадках, проходящих через две другие главные оси, иначе, для координат точек окружностей № 2 и 3 на рис. 8.

При θ = π/4, т. е. в сечениях, делящих пополам углы между главными плоскостями, касательные напряжения принимают экстремальные значения

называемые главными касательными напряжениями, а нормальные напряжения равны полусуммам

что соответствует координатам центров окружностей 1, 2 и 3 (см. рис. 8). Наибольшее из значений τ_i (i = 1, 2, 3) называется максимальным касательным напряжением и обозначается τ_max. Если условия (1.39) выполняются, то τ_max = τ₂.

Так как различные тела обладают различными механическими свойствами по отношению к сдвигу и равномерному всестороннему сжатию, удобно компоненты тензора напряжения представить в виде суммы

где S_ij—компоненты тензора, характеризующего касательные напряжения в данной точке и называемого девиатором напряжений.

Нормальные составляющие девиатора обозначают S_ii = σ_ii — σ, а касательные составляющие s_ij = σ_ij (i≠j).

Главные направления девиатора напряжений (S_ij) и тензора напряжений (σ_ij) совпадают, а главные значения s_i отличаются от σ_i, на величину среднего (гидростатического) давления и определяются кубическим уравнением

-s³ + A₁s+B₁=0,

все корни которого также вещественны.

Инварианты A₁ и В₁ легко получить из формул (1.37), если заменить σ_ij на s_ij и σ_i на s_i.

Неотрицательную величину

(1.40)

называют интенсивностью касательных напряжений.

Часто рассматривают приведенное напряжение или интенсивность напряжений

(1.41)

Величина Т равна нулю только в том случае, когда напряженное состояние есть состояние гидростатического давления.

Доказывается, что с погрешностью не более 7% имеет место равенство

Т ≈ 1,08 τ_max.

Для характеристики вида напряженного состояния, подобно характеристике деформационного состояния, используется параметр, введенный Лоде и Надаи:

который изменяется в пределах от —1 до +1. Он указывает на взаимоотношение главных нормальных напряжений, в частности на положение точки σ₂ на диаграмме Мора. Для одних и тех же величин μ_σ диаграммы Мора подобны.

Для чистого растяжения элемента (σ₁>0, σ₂= σ₃ = 0) μ_σ= —1, для чистого сжатия (σ₁ = σ₂ = 0, σ₃<0) μ_σ= 1, для сдвига (σ₁>0, σ₂=0, σ₃= — σ₁) μ_σ= 0, для гидростатического давления (σ₁ = σ₂ = σ₃) μ_σ не имеет смысла.

§ 4. Источник и сток в пространстве.

Рассмотрим еще один важный для дальнейшего пример потенциального течения. Пусть

(1.42)

где , a Q = const или Q = Q (t). Ясно, что поверхностями равного потенциала j = const являются в этом случае поверхности r = const, т. е. концентрические сферы с центром в начале координат. Скорость v = grad j ортогональна к этим сферам, т. е. направлена по радиусам. Линии тока являются лучами, выходящими из начала координат.

Пусть Q > 0; тогда, так как grad j направлен в сторону роста j, то v направлена по r. Если Q < 0, то v направлена по - r (рис. 6). Величина скорости равна:

|(grad j_r)| = .

Рис. 6

Скорость стремится к нулю при r ® ¥ и к бесконечности при r ® 0. Точки нуль и бесконечность являются критическими. При Q > 0 (1) имеем

вытекание жидкости из начала координат во всех направлениях — это течение называется точечным пространственным источником. При Q < 0 (2) — втекание жидкости в начало координат — сток. В первом случае в бесконечно удаленной точке имеем источник, а во втором — сток.

Вычислим объем жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность сферы S некоторого радиуса r с центром в начале координат. Через элемент сферы ds за единицу времени протекает объем жидкости v ds, а через всю сферу

(расход жидкости)

( v можно вынести за знак интеграла, так как v = const на поверхности сферы). Заметим, что первые два равенства верны всегда, когда v = v (r) и v ортогональна к поверхности сферы S. Вычисленный объем жидкости не зависит от r. Таким образом, несмотря на то, что на разных сферах разного радиуса с центром в начале координат скорости разные, постоянная Q в потенциале j (1.42) является объемом жидкости протекающей за единицу времени через каждую такую сферу. Величина Q называется расходом или мощностью источника (стока).

Если Q = const, то источник или сток имеет постоянную мощность; если Q = Q (t) — то переменную. Если в некоторый момент времени Q меняется в начале координат, то мгновенно измеряется поле скоростей во всем пространстве. Сигналы изменение Q сразу сказываются на всем поле скоростей, что, конечно, не может иметь места в действительности. Возмущения должны распространяться с некоторой конечной скоростью. Поэтому рассмотренное поле скоростей является определенной идеализацией, которая может достаточно хорошо отражать действительность только в том случае, когда рассматриваются течения жидкости с большой скоростью распространения возмущений. Во многих случаях можно считать, что такой жидкостью является, например, вода, в которой скорость распространения слабых возмущений 1450 м/сек.

2. (4) Уравнения механики сплошных сред

§ 1. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

Один из фундаментальных законов ньютоновской механики материальных тел—это закон сохранения массы т любого индивидуального объема, т. е. объема, состоящего из одних и тех же частиц среды. Этот закон заключается в том, что для любого индивидуального объема т = const или в иной форме

В механике сплошных сред почти всегда вместо массы рассматривается плотность ρ.

Для малого объема верно равенство Δm ≈ ρΔV, а для конечного объема — равенство , где интеграл взят по подвижному индивидуальному объему V.

Тогда закон сохранения массы т принимает вид

(2.1)

Здесь не только плотность ρ — функция от координат точек пространства и времени, но и объем V зависит от t. Принимая это во внимание при вычислении производной в равенстве (2.1), несложно получить равенство

и так как оно справедливо для любого индивидуального объема, то получим первое основное дифференциальное уравнение механики сплошной среды

(2.2)

которое называется уравнением неразрывности в переменных Эйлера. Это уравнение накладывает ограничение на скорость точек сплошной среды и применяется при больших перемещениях точек среды.

Если воспользоваться формулой (1.5), то уравнение (2.2) можно переписать в виде

(2.3)

В цилиндрической системе координат (r, Θ, z) при осевой симметрии = (r, z) уравнение неразрывности принимает вид

Интересно, что уравнение (2.3) легко получить сразу, остава­ясь строго на точке зрения Эйлера. Для этого достаточно рассмотреть поток вектора ρ сквозь некоторую неподвижную замкнутую поверхность S произвольной формы. Нам известно [см. формулу (1.10)], что этот поток может быть представлен в виде

Он выражает массу среды, вытекающую за единицу времени из замкнутой поверхности S. Так как это повлечет за собой уменьшение плотности внутри S в единицу времени, равное (- dρ/dt), и соответственно изменение массы среды внутри S, равное

то

Отсюда следует уравнение (2.3).

Для несжимаемой жидкости dρ/dt (хотя ∂ρ/∂t≠0),уравнение неразрывности (2.2) приобретает вид

div =

В этом случае поток скорости через любую неподвижную замкнутую поверхность равен нулю, т. е. объем втекающей жидкости равен объему вытекающей. Применяя это свойство к замкнутой поверхности, образованной трубкой тока и ее нормаль­ными сечениями, получим

v₁S₁=v₂S₂ .

Конечно, не существует сред, в строгом смысле действительно несжимаемых, однако весьма часто в инженерной практике предположение о постоянстве ρ приводит к значительному упрощению задачи и почти не вносит ошибки.

Для стационарных движений ∂ρ/∂t = O, уравнение неразрыв­ности получает вид

div ρ = 0или

Уравнение (2.2) или (2.3) справедливо для любой однородной сплошной среды, когда нет поглощений массы, химических реакций, внутренней диффузии и других процессов, связанных с влиянием окружающих тел. Однако оно легко обобщается для многокомпонентных смесей или многофазных сред с учетом различного взаимного влияния компонентов (или фаз).

Для этого всякий индивидуальный объем можно представить как совокупность п континуумов, каждый из которых имеет свою плотность ρ_1, ρ₂, ..., ρ_n и свою скорость , , …, . Если в смеси не происходит химических реакций и других процессов взаимных превращений, то для каждого компонента смеси должен выпол­няться закон сохранения массы

или

Если же в смеси происходят химические реакции, то массы компонентов т_i могут меняться. Пусть γ_i — изменение массы т_i i-го компонента смеси в единицу времени на единицу объема за счет химической реакции. Тогда уравнение неразрывности для компонента смеси можно записать в виде

или (2.4)

Согласно закону сохранения общей массы при химических реакциях имеем

(2.5)

Кроме п плотностей и п скоростей для компонентов смеси можно ввести одну плотность ρ и одну скорость смеси как целого.

Для этого достаточно просуммировать уравнения (2.4), учесть (2.5) и получим следующие равенства

В результате уравнение неразрывности примет обычный вид (2.3) относительно средних характеристик среды.

Все сказанное остается в силе, если вместо химических реакций в многокомпонентных смесях рассматриваются процессы взаимных поглощений (или выделений) в многофазных средах. В этом случае в формуле (2.4) γ_i — интенсивность поглощения i-той фазы среды.

§ 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ

Известно, что основным динамическим уравнением движения материальной точки является второй закон Ньютона ma = R, a широко используемыми следствиями этого закона являются сле­дующие общие теоремы движения системы материальных точек:

а) производная по времени от количества движения

системы равна сумме всех действующих на систему внешних сил

(2.6)

и называется уравнением количества движения или уравнением импульсов:

(2.6')

б) производная по времени от кинетического момента

системы относительно какого-либо неподвижного центра О равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра, т. е.

(2.7)

называется уравнением моментов количества движения или просто

Уравнением моментов

в) дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил, т. е.

dТ = dA (2.8)

называется уравнением механической энергии или теоремой живых сил.

Для любого мысленно выделяемого индивидуального объема V сплошной среды, ограниченного поверхностью S, уравнения (2.6) — (2.8) остаются в силе, если динамические величины определить следующим образом:

EMBED Equation.3 , ,

соответственно количество движения, момент количества движе­ния и кинетическая энергия сплошной среды в объеме V;

соответственно сумма внешних объемных и поверхностных (непрерывно распределенных и сосредоточенных) сил к их момен­тов относительно некоторого неподвижного центра О, действую­щих на среду в объеме V;

сумма элементарных работ внешних и внутренних объемных и поверхностных сил.

В этом случае уравнения (2.6) и (2.7) являются основными постулируемыми динамическими соотношениями механики сплош­ной среды¹, подобно второму закону Ньютона в механике материальной точки. Они служат исходными для описания любых движений любой сплошной среды, в том числе для разрывных движений и ударных процессов. ¹ Эти уравнения для индивидуального объема сплошной среды не вытекают из подобных уравнений движения системы материальных точек, а являются самостоя­тельными.

Уравнение (4.8) одно из наиболее важных следствий уравнений (4.6) и (4.7) при непрерывных движениях в пространстве и времени.

При непрерывных движениях интегральная теорема движения (4.6) эквивалентна следующим трем дифференциальным уравне­ниям:

в цилиндрической системе координат при осевой симметрии

(2.9)

в декартовой системе координат

(i=1,2,3)

где проекции ускорения a_i вычисляют по формулам (1.6).

Эти уравнения, связывающие компоненты v_i вектора скорости и тензора напряжений {σ_ij}, являются основной системой дифференциальных уравнений движения для любой сплошной среды, представляющих собой уравнение баланса количества движения (или импульса) для бесконечно малого объема среды.

Если движения частиц происходят без ускорения (a_i=0) или они пренебрежимо малы, то уравнения (2.9) называются дифферен­циальными уравнениями равновесия.

При непрерывном движении сплошной среды теорема момен­тов количества движения (2.7) в дифференциальной форме сводится к выводу о том, что тензор напряжений симметричен, т. е. σ_ij = σ_ji. Если тензор напряжений симметричен, то уравнения моментов количества движения удовлетворяются тождественно.

Интегральная теорема живых сил (2.8) эквивалентна следую­щему дифференциальному уравнению:

dТ = dЕ = dA^(e) (2.10)

где — соответственно изменение кинетической и потенциальной энергии бесконечно малого объема сплошной среды;

— элементарная работа внешних объемных и поверхностных сил, действующих на бесконечно малый элемент объема среды.

Уравнение (2.10) является следствием уравнений движения (2.9) и представляет собой уравнение баланса механической энергии. В об­щем случае оно не является законом сохранения энергии, но его мож­но так трактовать тогда, когда механическая энергия тела не пере­ходит в тепловую или другие виды энергии. Общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два: закон сохранения механической энергии и закон сохранения энергии другого вида.

§ 3. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ)

Уравнения неразрывности и движения (2.3) и (2.9), справедли­вые при непрерывных движениях любой сплошной среды, недоста­точны для описания поведения конкретной среды, так как их число меньше числа входящих в них неизвестных (перемещения, дефор­мации, скорости, напряжения и др.). Это понятно и с другой точки зрения. Различные реальные тела при одних и тех же внешних усло­виях ведут себя по-разному, что никак не отражено в общих уравне­ниях (2.3) и (2.9). Поэтому говорят, что такая система уравнений не замкнута. Построить замкнутую систему уравнений — значит построить математическую модель изучаемой сплошной среды. Для этого к имеющимся уравнениям необходимо присоединить так называемые механические уравнения состояния, которые выра­жают связь между кинематическими и динамическими величинами.

Механические свойства реальных тел довольно сложны, и поэтому уравнения состояния устанавливаются на основании опытных данных. В настоящее время для многих тел установлены определенные механические свойства и соответствующие им уравнения состояния.

В силу характерных особенностей различают математические модели твердых деформируемых тел, жидкостей и газов, хотя такое деление в определенном смысле условно.

С позиций механики сплошной среды твердые тела, жидкости и газы различаются по действию, оказываемому на них внешними силами, именно по неодинаковой сопротивляемости изменению формы. Газы практически не сопротивляются изменению формы, капельные жидкости сопротивляются изменению формы значи­тельно слабее, чем твердые тела. Кроме того, они различаются по характеру и степени проявления упругих, вязких и пластических свойств, их влиянию на изучаемый процесс.

Все это находит отражение в уравнениях состояния, т. е. в зависимостях между компонентами тензоров напряжений σ_ij и деформаций ε_ij (или скорости деформаций ξ_ij) или компонентами девиаторов напряжений s_ij и деформации e_ij (или скорости деформаций λ_ij). По существу эти уравнения являются классифи­катором разделов механики сплошной среды.

При формулировке инженерных задач не следует стремиться к использованию уравнений состояния, описывающих все детали механического поведения тела под воздействием внешних сил. Наоборот, целесообразно выбрать простейшую математическую модель, которая отражала бы лишь самые существенные свойства. В противном случае решить задачу будет либо чрезвычайно сложно, либо вовсе невозможно.

Приведем наиболее известные уравне­ния состояния, используемые в гидромеханике и механике твердо­го деформируемого тела.

Следует обратить внимание, что структурное сходство этих моделей придает общность исходным уравнениям механики сплошной среды, несмотря на существенное различие в физиче­ском поведении разных тел.

§ 4. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ