Условие равновесия жидкости

Жидкость может сохранять свое равновесное состояние в том случае, если внешние силы, действующие в точках граничной по­верхности, направлены только по внутренним нормалям к этой по­верхности.

Очевидно, что действие силы давления по внешней нормали при­водит к нарушению равновесия, т.к. жидкость не оказывает сопро­тивления растягивающим силам.

Касательные силы возникают при движении жидкости, поэтому при равновесии жидкости, находящейся в покое, они равны нулю.

Следствие. Так как гидростатическое давление одинаково по всем направлениям в данной точке, а в различных точках данного объема жидкости в общем случае различно, то

(2.15)

В общем случае, когда изменяется атмосферное давление во вре­мени:

. (2.16)

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости. Уравнение Эйлера.

Выделим в жидкости элементарный параллелепипед ABCDA^¢B^¢C^¢D^¢ (рис. 2.3).

Полагая его твердым телом, составим три уравнения проекций действующих сил :

=0; =0; =0.

Рис. 2.3

Уравнение моментов исключается. Составим уравнение проекции сил на ось ox, т.е. уравнение = 0.

Равновесие параллелепипеда обеспечивается шестью проекциями (по числу граней).

В уравнение = 0войдут только две силы: dPи dP^¢.

Сила давления на грань ABCD

где р –среднее гидростатическое давление на грань ABCD.

Сила давления на грань A^¢B^¢C^¢D^¢

,

где р¢ – среднее гидростатическое давление на грань A¢B¢C¢D¢ (р¢ ¹ р).

Определим р^¢. Так как p = f(x,y,z), то при переходе от одной грани к другой давление должно изменяться в зависимости от одной координаты, так как в сходственных точках (A и A^¢, B и B^¢ и т.д.) давление зависит только от изменения одного аргумента x. Аргу­мен­ты y и z для сходственных точек (А и А^¢) остаются неизменными. Следовательно

.

Тогда

.

Сила dP^¢войдет в уравнение проекции со знаком «минус».

Проекции объемных сил.

Проекция объемной силы dRравна произведению массы на соответствующую проекцию ускорения объемной силы, т.е.

,

где r – плотность жидкости;

dx, dy, dz – объем выделенного элемента;

X – проекция ускорения силы dR на ось Ох.

Сумма проекций поверхностных и объемных сил на ось Ох равна:

. (2.17)

После некоторого преобразования и деления на dxdydz(объем параллелепипеда dW) получим уравнение проекций сил на ось Ох, отнесенных к единице объема:

. (2.18)

Аналогично получим два других уравнения: =0; =0.

Таким образом, при равновесии жидкости имеем три диф­фе­рен­-циальных уравнения:

(2.19)

Система уравнений (2.19) равновесия жидкости относится как к несжимаемой, так и к сжимаемой жидкости.

Эта система уравнений впервые была получена Эйлером в 1755 г.