Закон Стефана - Больцмана

Интегральную освещенность некоторой поверхности равновесным те­пловым излучением вычислим по формуле (16.6):

E(T)= E(ω,T)dω = (16.42)

Произведем в этом интеграле переход к новой переменной интегрирова­ния х = hω/kT. После несложных преобразований придем к формуле, выражающей зависимость интегральной освещенности поверхности рав­новесным тепловым излучением от абсолютной температуры

E(T) = σT⁴ (16.44)

Где

σ=

Таким образом, функция Планка приводит к закону Стефана - Больцмана.

Закон смещения Вина

Представим формулу Планка (16.43) в виде

: :

E(ω,T)=

где х = hω/кТ. Значение х_т величины х, соответствующее максимуму спектральной освещенности теплового излучения, можно найти из усло­вия экстремума функции

Зная значение х_т, найдем зависимость от температуры частоты ω_max, при которой спектральная плотность энергии равновесного теплового из­лучения достигает наибольшего значения:

ω _max = x_mkT/ћ (16.45)

Это выражение представляет собой одну из форм закона смещения Вина. Из этого выражения вытекает, что максимум спектральной освещенности при повышении температуры смещается пропорционально температуре в сторону высоких частот.

Спектральную освещенность можно представить как функцию от дли­ны волны. Искомая функция E(λ, Т) определяется из равенства

Е(λ, Т) dλ dS dt = Е(ω, Т) dω dS dt,

(16.46) левая часть которого есть энергия излучения с длинами волн в интервале (λ, λ + dλ), падающая на площадь dS за время dt, а правая - энергия того же излучения, имеющего соответствующие частоты. 'Гак как длина волны связана частотой соотношением

=2πс/λ

приращение частоты dω будет

dω= =

Подставив выражения ω(λ) и dω в равенство (16.46),получим зависимость

E(λ,T)=

x=

x=2πch/kTλ

Функция Е = Е(λ, Т) при постоянной температуре T также имеет мак­симум при некоторой длине волны λ = λ_тах, которая определяется фор­мулой

λ_тах = b/T ^(16.47)

где b = const. Эта формула также выражает закона смещения Вина. Согласно этому закону длина волны λ_тах, на которую приходится мак­симум спектральной освещенности в спектре равновесного теплового из­лучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре.

ФОТОНЫ

Фотоны

Для объяснения свойств и вывода законов теплового излучения Макс Планк предположил, что электромагнитное излучение представляет со­бой совокупность частиц, которые были названы фотонами, шля кван­тами света. Все оптические явления, которые могут быть поняты и объ­яснены на основе этой гипотезы, составляют предмет изучения науки под названием квантовая оптика. В данном разделе будут рассмотрены некоторые из этих явлений.

Как и любая другая частица материи, фотон обладает энергией и им­пульсом. Энергия е одного фотона пропорциональна частоте ω электро­магнитного излучения, частицей которого он является:

ε = ћω (17.1)

Иногда пользуются другой формулой для энергии фотона

ε=hν

Здесь h=2πћ- постоянная, которую также называют постоянной Планка,

v - частота излучения,

ω =2πν

Импульс фотона связан с его энергией соотношением

p=ε/c (17.2)

где с - скорость света. В векторной форме это соотношение имеет вид

р = ћk, (17.3)

где k- волновой вектор. Напомним, что волновое число k, т.е. модуль волнового вектора, можно выразить через длину волны и частоту элек­тромагнитного излучения посредством формул

k=2π/λ =ω/c

Фотоэффект

Обнаружено, что при облучении поверхности металла светом с доста­точно короткой длиной волны из него вылетают электроны. Это явление назвали фотоэффектом.

Устройство, при помощи которого можно наблюдать фотоэффект, на­зывают фотоэлементом. Он представляет собой небольшой стеклянный сосуд, в который впаяны два металлических электрода (рис. 17.1). На один из электродов может падать свет. Этот электрод называют фо­токатодом. Противоположный электрод называют анодом. Воздух из сосуда откачивают так, что в пространстве между катодом и анодом со­здается достаточно высокий вакуум, который, как известно, является хорошим электроизолятором. При облучении катода светом в цепи воз­никает электрический ток (фототок). Это означает, что в пространстве между катодом и анодом появляются заряженные частицы, упорядочен­ное движение которых и есть электрический ток. Такими частицами являются электроны, вылетающие с поверхности катода.

Рис. 2.1

Рис. 17.2. Вольт-амперная характеристика вакуумного фотоэлемента

а)зависимость тока от интенсивности излучения; б)зависимость тока от напряжения при разных интенсивностях излучения; в) зависимость задерживающего напряжения от частоты излучения.

Рис. 17.1. Схема установки для исследования фотоэффекта

Схема установки для исследования фотоэффекта показана на рис. 17.1. Фотокатод облучают монохроматическим светом частоты ω. На катод и анод подают напряжение U и тем самым в пространстве между ними создают электрическое поле. Электроны, вылетающие с поверхно­сти катода, под действием электрического поля движутся к аноду. При этом в цепи идет электрический ток.

Закономерности фотоэффекта можно установить при исследовании вольт-амперной характеристики фотоэлемента, которая есть зависи­мость силы фототока от напряжения на его электродах. На рис. 17.2 изображена вольт-амперная характеристика вакуумного фотоэлемента. Из этого рисунка видно, что между катодом и анодом протекает элек­трический ток даже тогда, когда электрическое поле отсутствует. Это свидетельствует о том, что электроны вылетают с поверхности, имея не­нулевые скорости. Если, приложив к электродам напряжение, создать в пространстве между ними электрическое поле, ускоряющее движение электронов, то сила тока в цепи увеличится. Когда напряжение между электродами невелико, только самые быстрые электроны достигают ано­да. Те же из электронов, которые при вылете из катода имеют не очень большие скорости, отбрасываются назад на катод ранее вылетевшими электронами.

I I_H

-U_e 0 U

Рис. 17.2. Вольт-амперная характеристика вакуумного фотоэлемента

При достаточно большом напряжении ток достигает насыщения, т.е. сила тока перестает увеличиваться при повышении напряжения. Это означает, что все электроны, испущенные с катода, попадают на анод. Если за единицу времени фотоны "выбивают" из катода N_e электронов, то сила I_Н тока насыщения будет

Число электронов N_e, выбиваемых фотонами с поверхности катода за единицу времени, должно быть пропорционально числу падающих на катод фотонов:

I_n=eN_e (17.4)

Русский ученый А.Г.Столетов (1839 - 1896) установил, что сила тока насыщения I_Н пропорциональна энергии Ф света, падающего за единицу времени на поверхность катода:

I_Н ~Ф. (17.5)

Этот факт свидетельствует о том, что свет следует рассматривать как совокупность частиц. В самом деле, если число фотонов, падающих на катод за единицу времени, равно N_ф , то их энергия будет

N_e ~ N_ф .

Таким образом, будем иметь

I_n=eN_e~ N_ф =Ф/ ω

т.е. придем к зависимости (17.5), выражающей закон Столетова.

Если изменить полярность напряжения, подаваемого на электроды, то электрическое поле будет уже не ускорять электроны, а тормозить их движение. Теперь при повышении напряжения сила тока будет умень­шаться вследствие того, что часть электронов возвращается на катод. При значении U₃ обратного напряжения ток в цепи прекращается. Это значение называют задерживающим напряжением. При этом напряже­нии только самые быстрые электроны долетают до анода и, не касаясь его, возвращаются обратно на катод. Связь между наибольшей скоро­стью v_max электрона, вылетающего с поверхности катода, и задержива­ющим напряжением можно установить при помощи закона

∆Е_к = А

из механики, согласно которому приращение кинетической энергии ча­стицы равно работе действующих на нее сил. Этот закон приводит к уравнению

(17.6)

где левая часть есть наибольшая кинетическая энергия вылетающего из катода электрона, а правая - потенциальная энергия, которую приобре­тает такой электрон, когда он подлетает к аноду.

Предполагают, что испускание электронов под действием света проис­ходит потому, что при столкновении с электроном фотон отдает ему всю свою энергию, а сам исчезает (поглощается) (рис. 17.3). Что происходит с электроном после того, как он в результате взаимодействия с фото­ном получил от него энергию ω. Не каждый электрон, получивший такую энергию покидает катод. Некоторые из этих электронов теря­ют всю полученную энергию при столкновениях с частицами вещества: атомами, ионами и другими электронами. В редких случаях электрон, получивший энергию ω, сразу начинает двигаться в сторону поверхно­сти катода. Даже в таком благоприятном для выхода из металла случае

электрон теряет энергию А, преодолевая силы притяжения, действую­щие на него со стороны положительных ионов кристаллической решетки у поверхности металла (рис. 17.3). Энергия А, необходимая для преодо­ления этих сил, называется работой выхода электрона из металла.

Рис. 17.3. Фотоны "выбивают" электроны из металла. Положитель­ные ионы, образующие кристаллическую решетку, препятствуют дви­жению электронов от поверхности металла

Очевидно, что отрыв электрона от поверхности металла возможен только, когда полученная им от фотона энергия больше работы выхо­да:

ћω > А.

Поэтому фотоэффект возможен при условии, что на поверхность метал­ла падает свет с частотой

ω > ω_cr. (17.7)

где частота

ω_cr =A/ћ (17.8)

называется красной границей фотоэффекта.

Закон сохранения энергии для электрона, получившего от фотона энергию ω и вылетевшего с поверхности катода со скоростью v, будет иметь вид

(17.9)

ћω = Q + А + т v²/2

где Q - энергия, теряемая электроном при столкновениях с атомами и другими электронами в металле. В том случае, когда Q = 0, скорость вылета электрона будет наибольшей. При этом уравнение (17.9) принимает вид

ћω = А + т_max v²/2

(17.10)

где v_max - наибольшее значение скорости, которую могут иметь электро­ны, вылетающие с поверхности катода. Соотношение (17.10) называют формулой Эйнштейна. За объяснение фотоэффекта А. Эйнштейну в 1921 г. была присуждена Нобелевская премия.

Исключив из уравнений (17.6) и (17.10) величину v_max, придем к за­висимости задерживающего напряжения от частоты падающего на фото­катод света:

U_з = (1/e)(ћ ω-А).

График этой зависимости есть прямая (рис. 17.4). При помощи этого графика можно измерить значения ω_кр частоты красной границы фото­эффекта и работы выхода А электрона из металла.

U_e

0

-A/e ω_cr ω

Рис. 17.4. Зависимость задерживающего напряжения от частоты света, падающего на фотокатод