Квазиклассическое приближение

Уравнение Шредингера допускает аналитические решения в сравнительно небольшом числе задач на движение частицы в конкретном поле. В теории развито несколько методов приближенного решения уравнения Шредингера.

При изучении одномерного движения в квантовой механике широкое применение получило так называемое квазиклассическое приближение, или метод Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (ВКБ). Мы познакомимся с его содержанием. (Другой приближенный метод — теория возмущений — изложен в главе V.)

Запишем одномерное уравнение Шредингера E.1), обозначая штрихами производные по координате х:

1|э -|—г- \Н — и (х)\ ib = 0.

Будем искать решение в виде

г|з = Сет ', (6.20)

где С — постоянная величина, a S (х) —неизвестная функция, имеющая размерность действия. Подставляя выражение (6.20) в уравнение Шредингера, получим новое уравнение для этой вспомогательной функции:

(S'f = 2m(E-U{x)) + ihS". (6.20а)

Пользуясь формулой для модуля классического импульса

р = Л/2т (£-!/(*)),

вместо уравнения (6.20а) имеем

(6.21)

Пока что никаких допущений о замене точных выражений на приближенные не делалось, поэтому уравнение (6.21) эквивалентно исходному уравнению.

Далее представим искомую функцию S (х) в виде ряда

2(x) + ..., (6.22)

где So(x), Si(x), S2(x), .. —неизвестные функции, которые следует определить. Постоянную Планка h считаем малым параметром, по которому выполнено разложение, т. е. второе слагаемое в разложении (6.22) имеет первый порядок малости, третье — второй и т. д.-

В классическом случае можно считать Й = 0, в чисто квантовом Н имеет тот же порядок, что и величина рассматриваемого в задачах действия S. В промежуточном случае % за нуль принимать нельзя, но малой величиной считать можно. Отсюда и название — ква-

квазиклассическое приближение.

Подставим разложение (6.22) в уравнение (6.21):

(S6J + 2hS'0S\ + h2 (S[J + 2h2S'oS2 + - = 2 *

Приравнивая члены одинакового порядка малости в левой и правой частях этого равенства, получаем систему дифференциальных уравнений для нахождения Sk (x):

(S6J = p2, 2S'uS[ = iS%, {S\f+ 2SbS'2 = iS'{, ...,

или

Sb=±p, Sf = -i~fL=-i~£, ... (6.23)

Решая последовательно уравнения системы (6.23), находим искомые функции S* (х):

So=±S p(x)dx, (6.24)

где Хо — произвольная постоянная интегрирования,

S,=-i-lnp(x) ит.'д. (6.25)

Ограничимся первым (по степени К) приближением. Оборванный на втором члене ряд (6.22) с помощью выражений (6.24) и (6.25) дает

63а формула (6.20) — искомое приближенное решение уравнения Шредингера:

или ,

„ i-j-5 p{x)dx

Найдено два частных решения. Из них можно построить общее:

y=£±e'» +^е '■ . (6.26)

Vp Vp

Границы применимости квазиклассического приближения определяются из

уравнения (6.21). Необходимо, чтобы

Это эквивалентно неравенству

dx\S'

Полагая S' = p, имеем

Находим производную от р (х):

. i . . m dU m

где F — классическая сила, действующая на частицу. В итоге условяе применимости

метода сводится к неравенству из которого вядно, что импульс частицы ие должен быть слишком малым.

Пример 6.1. Применение метода ВКБ к свободной частице. Для частицы, движущейся в отсутствие сил, 0 (х) = 0 и р = рх — постоянные величины. Поэтому выражение (6.26) приводит к волновой функции

Это две плоские волны, движущиеся по оси Ох навстречу друг другу, уже известные

нам по точному решению задачи (3.21). Таким образом, в данном случае метод

ВКБ дает точное решение.

Значительный практический интерес представляют задачи на финитное движение частиц. В этом случае силовое поле задается 64некоторой потенциальной ямой (рис. 6.4). Здесь точки а и Ь называются поворотными; в них полная энергия равна потенциальной,

т. е. Т = 0 и р = 0. В соответствии с классической механикой частица

в поворотных точках изменяет направление скорости на обратное.

Согласно квантовой механике возможно движение частицы с

энергией E<.U вне ямы за точками поворота (это области x<La и

Метод ВКБ позволяет найти волновую функцию как в классически доступном интервале значений: х от а до Ь, так и за поворотными точками. Но установить связи между выражениями для волновой функции, полученной для различных областей, довольно

сложно, так как непосредственное «сшивание» в точках а и Ь невозможно.

При x>b p — чисто мнимая величина, так как U>E. Если принять хо = Ь, то

быть отброшено. Полагая С\=-^~ и С2 = 0, имеем

/ipl Vipl

Второе слагаемое неограниченно возрастает при х -*• оо и должно

в_

- ь '-^ *-4 (6.27)

Опуская доказательство, укажем, что функции (6.27) соответ-

соответствует в области а<.х<Ь функция

Аналогично в области перед поворотной точкой а

поэтому в интервале а<х<Ь имеем

Исходя из требования однозначности волновых функций за-

заключаем, что в любой точке между а и Ь ф, (лг)=г|зи (х). Но для этого

необходимо, чтобы сумма аргументов синуса в обеих функциях была

кратна числу л:

3 Заказ 891 65Кроме того, следует положить А = (— \)п (3.

Итак,

\ (£) n = 0, 1, 2, ... (6.28)

Финитное движение частицы в классическом случае происходит по отрезку прямой от точки а к b и обратно. Условие квантования (6.28) целесообразно поэтому записать для полного цикла движения, распространяя интегрирование на интервал от а до Ь и обратно от Ь до а. С учетом знака р как проекции импульса на ось Ох

Далее удобно перейти к фазовому пространству с координатами

р и х (см. ч. I, § 25, п. 2). В нем условие квантования выразится

формулой

(6.29)

Левую часть формулы (6.29) можно трактовать как площадь,

ограниченную замкнутой траекторией изображающей точки в фазовом пространстве.

Достоинство квазиклассического приближения состоит в том, что в нем решение уравнения Шредингера сведено к квадратурам (6.26).

Кроме того, во многих случаях оно приводит к сравнительно простым и физически ясным результатам, так как усматриваются прямые связи с соответствующими задачами классической механики.

Пример 6.2. Применение метода ВКБ для расчета уровней энергии.

Положим С = 0 при а<х<Ь (прямоугольная потенциальная яма). Тогда из

формулы (6.28)'следует л/2тЁ2(Ь— а)=( n + -e-j 2пН, откуда

Еп=2т(Ь-а)ЛП+^) ■

Результат отличается от точной формулы E.8) для уровней энергии сдвигом значе-

значений квантовых чисел на — . Эта погрешность скажется на энергии нижних кванто-

вых состояний. При п^>1 точность метода ВКБ достаточно высока.

Пример 6.3. Расчет уровней энергии квантового осциллятора.

Сравним формулу классической механики для фазовой траектории осциллятора

(см. ч. I, § 25)

с условием квантования. Заключаем, что

66или