Напряжённое состояние в точке сплошной среды. тензор напряжений

Разделим произвольную часть сплошной среды поверхностью АВ на две части (Рис.4.1), при этом часть 1 будет действовать на часть 2 с силой . Обозначив площадь поверхности АВ через А_АВ , среднее напряжение на АВ выразим вектором, имеющим то же направление, что и :

. (4.2.1)

Обозначим произвольную малую часть поверхности АВ, содержащую точку М, через DА_АВ; на неё будет действовать сила D . Стягивая D А_АВ в точку М, получаем вектор напряжения в этой точке:

. (4.2.2)

Проведя через точку М другую поверхность, например, ДЕ,можно с помощью таких же рассуждений получить другой вектор напряжения р_ДЕ (М).

Рис. 4.2. Обозначения напряжений в сплошной среде и их проекций на оси координат

Таким образом, вектор напряжения (плотности распределения поверхностной силы) на поверхности, проходящей через данную точку, зависит от ориентации этой поверхности.

Выделим в пространстве элементарный куб, грани которого параллельны координатным плоскостям (рис.4.2), и обозначим векторы напряжений на этих гранях , где индекс соответствует координатной оси, к которой грань куба перпендикулярна.

Рис. 4.3. Определение напряжения на произвольно-ориентированной площадке

Для обозначения проекции вектора напряжений на какую-либо координатную ось введём второй подстрочный индекс, соответствующий этой оси. Например, р_ух - это проекция вектора напряжения р_у на ось х. Как видно из рисунка, р_хх, р_уу, р_zz - нормальные напряжения; р_ху, р_хz, р_ух, р_zх, р_zу - касательные.

Выделим в сплошной среде элементарную (с точки зрения напряжений) пирамиду с вершиной в точке М (рис.4.3.), три грани которой перпендикулярны осям координат х, у, z, а ориентация четвёртой грани АВС определяется единичным вектором нормали n,имеющим проекции на координатные оси :

(4.2.3)

Обозначим площади граней пирамиды, ортогональных осям х,у, z, соответственно А_х, А_у, А_z , площадь грани АВС обозначим А_n , а напряжение на ней - p_n. Отметим, что проекции p_n на координатные оси р_nх, р_nу, р_nz не являются ни нормальными, ни касательными напряжениями. Исходя из геометрических соотношений, получим

. (4.2.4)

Считаем линейные размеры пирамиды бесконечно малыми; при этом объёмные силы, действующие на пирамиду, это бесконечно малые величины третьего порядка, и ими можно пренебречь, по сравнению с поверхностными силами, которые являются бесконечно малыми второго порядка. Имея это в виду, приравняем нулю сумму проекций на ось х всех поверхностных сил, действующих на пирамиду АВСМ:

. (4.2.5)

Подставляя (4.2.4) в (4.2.5) и сокращая на А_n, получаем проекцию вектора p_n на ось х

. (4.2.6)

Исходя из равенства нулю сумм проекций сил на координатные оси у и z, найдём две другие проекции p_n:

; (4.2.7)

. (4.2.8)

Тем самым определим вектор напряжений на грани АВС:

.

Таким образом, зная три вектора напряжений на взаимно ортогональных площадках и используя уравнения статистики, можно найти напряжение на произвольно ориентированной площадке. Следовательно, три вектора напряжений полностью характеризуют напряжённое состояние в данной точке пространства.

Представленную в виде квадратной матрицы совокупность девяти проекций на координатные оси трёх векторов, определяющих напряжения в точке сплошной среды, обозначим буквой П:

. (4.2.9)

Используя матричную форму записи, можно представить равенства (4.2.3), (4.2.4), (4.2.5) в виде

. (4.2.10)

Если задать другую систему координатных осей , то соответствующие этим осям три вектора напряжений также характеризовали бы напряжённое состояние в этой же точке М. Матрицы, которые определяют какую-либо физическую величину, т.е. величину, не зависящую от выбора системы координат, называют тензорами. Эти матрицы при введении новой системы координат преобразуются определённым образом.

1.Составляющие матрицы, образующие строки, считаются компонентами векторов, относящихся к площадкам, перпендикулярным соответствующим координатным осям (например, в нашем случае строки являются компонентами вектора напряжения р_у, действующего на площадке, перпендикулярной оси у).

2.Проекции на координатные оси х, у, z векторов, действующих на площадке, перпендикулярные новым координатным осям , находим, считая, что векторы представляют собой плотности распределения поверхностных сил (напряжений) и что выполняется условие статики, т.е. по уравнениям (4.2.6)-(4.2.8). В общем случае матрица необязательно характеризует напряжённое состояние, поэтому векторы, составляющие строки матрицы, могут быть и несиловыми характеристиками.

3.Определив проекции векторов на старые координатные оси х, у, z, исходя из геометрических соотношений, находим их проекции на новые координатные оси и из этих проекций образуем матрицу тензора в новой системе координат.

В тензорных обозначениях равенство (4.2.9) можно представить в виде

(4.2.11)

Как доказывается в тензорном исчислении, сумма диагональных элементов матрицы не зависит от системы координат, в которой она записана. Эта величина называется линейным инвариантом тензора. Для тензора напряжений П имеем

.

Сумма нормальных напряжений по трём взаимно ортогональным площадкам не зависит от ориентации их в пространстве. Благодаря этому важную роль в механике вязкой жидкости играет гидродинамическое давление р, которое определяется равенством

(4.2.12)

и может рассматриваться как скалярная величина.

Рассматривая равновесие элементарного (в отношении напряжений) кубика, представленного на рис. 4.2, из равенства нулю суммы моментов поверхностных сил относительно трёх его взаимно ортогональных рёбер (пренебрегая при этом моментом от массовых сил как величиной более высокого порядка малости) получим

. (4.2.13)

Это свойство равенства касательных напряжений свидетельствует о симметричности матрицы тензора напряжений.

В соответствии с определением (4.2.2) единицей напряжения является

ºПа.

На практике часто пользуются производными от паскаля единицами: гектопаскаль (гПа = 100 Па), килопаскалями (кПа = 100 Па) и мегапаскалями (МПа = 1000 000 Па). В этих же единицах измеряется и гидродинамическое давление р.