Существуют операторы, для которых справедливо равенство

 = Â+, (4.27)

они называются самосопряжёнными или эрмитовыми операторами. В квантовой механике в основном используются эрмитовы операторы. Условие самосопряжённости с учётом (4.24) записывается в виде:

(j,Ây) = (y,Âj)* (4.28)

Очевидно, что сумма самосопряжённых операторов есть самосопряжённый оператор. При умножении самосопряжённых операторов Â и Ĝ следует иметь в виду, что их произведение даёт эрмитов оператор лишь в том случае, если коммутатор их [Â,Ĝ] = 0, т.е. операторы–сомножители коммутируют друг с другом. Так как всякий оператор коммутирует сам с собой, то целая положительная степень эрмитова оператора Â есть так же эрмитов оператор:

Ân = Существуют операторы, для которых справедливо равенство - student2.ru(4.29)

Символом Î обозначается единичный оператор:

Îy = y (4.30)

Очевидно, ÎÂ = ÂÎ для любого оператора. Если для оператора Â можно подобрать такой коммутирующий с ним оператор Â-1, что будет выполняться условие

 Â-1 = Â-1 = Î, (4.31)

то Â-1 называется обратным по отношению к оператору Â.

Операторы, для которых

Â+ = Â-1 , (4.32)

называются унитарными операторами, следовательно, для них справедливо равенство:

Â+Â = Â-1Â = Î. (4.33)

Легко доказать полезное соотношение:

Существуют операторы, для которых справедливо равенство - student2.ru . (4.34)

В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённыхоператоров.

Если в результате действия оператора Â на вектор j получается произведение некоторой константы a на тот же вектор, т.е выполняется равенство

Âj = аj, (4.35)

то вектор j называется собственным вектором оператора Â, принадлежащим его собственному значению а. Уравнение (4.35) называется уравнением для собственных векторов (функций) и собственных значений. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора. Спектр бывает дискретным, непрерывным или смешанным (дискретно-непрерывным).

Рассмотрим свойства собственных векторов и собственных значений эрмитовых операторов.

Теорема 1. Эрмитов оператор имеет вещественные собственные значения.

Доказательство. Итак, пусть дан эрмитов оператор Â, т.е. Â = Â+ , и его уравнение для собственных векторов и собственных значений (дискретный спектр): Âjn = аnjn. Требуется доказать, что an – действительные числа.

Пользуясь определением самосопряжённости оператора (4.28) для случая y = j = jn , запишем:

(jn,Âjn) = (jn,Âjn) * = (Âjn,jn),

откуда

(jn,anjn) = (anjn,jn),

т.е an(jn,jn)=an*(jn,jn),

значит

an = an*,

т.е. собственные значения эрмитова оператора Â действительны.

Теорема 2. Собственные вектора jn и jm эрмитова оператора Â, принадлежащие различным собственным значениям an≠am, взаимно ортогональны.

Доказательство. На основе эрмитовости оператора (условие (4.28)) можно записать:

(jm, Âjn) = (Âjm,jn).

С учётом теоремы 1 и свойств скалярного произведения векторов (4.10) преобразуем это равенство к виду:

an(jn,jm)=am(jm,jn),

откуда

(an-am)(jm,jn)=0.

Учитывая условие an≠am, получаем

(jm,jn)=0, (4.37)

что означает ортогональность собственных векторов jm и jn, принадлежащих различным собственным значениям. Таким образом, теорема доказана.

Поскольку уравнение (4.35) однородно, то собственные вектора определяются им с точностью до произвольного множителя. Этот множитель можно выбрать так, чтобы норма собственных векторов, согласно (4.9), равнялась единице, т.е.

(jn,jn)=1 (4.38)

Объединяя (4.37) и (4.38), получаем условие ортонормировки собственных векторов эрмитовых операторов с дискретным спектром:

(jm,jn) = δmnº Существуют операторы, для которых справедливо равенство - student2.ru (4.39)

Если спектр собственных значений оператора Â непрерывен, то собственные векторы нельзя пронумеровать числами. В этом случае собственные векторы зависят от собственных значений а как от параметра, что обозначается через jа:

Âjа = аjа (4.40)

Так первая и вторая теоремы легко обобщаются и на случай непрерывного спектра собственных значений эрмитова оператора. Норма же собственных векторов в этом случае не является конечной, т.к. (jа,jа) = ∞. Поэтому условие ортонормировки записывается с помощью δ–функции Дирака:

(jа ,jа) = δ(а΄-а) ≡ Существуют операторы, для которых справедливо равенство - student2.ru (4.41)

В случае f–кратного вырождения некоторого собственного значения собственные векторы, принадлежащие ему, вообще говоря, не ортогональны. Однако, можно составить f линейных комбинаций из этих собственных векторов, удовлетворяющих условию ортонормировки. Система собственных векторов эрмитова[6] оператора является полной (замкнутой), если всякий вектор гильбертова пространства может быть разложен в ряд по собственным векторам эрмитова оператора, т.е

y = Существуют операторы, для которых справедливо равенство - student2.ru (4.42)

Это выражение аналогично (4.5), когда базисными векторами являются собственные вектора jn оператора Â. Для определения коэффициентов cn в разложении (4.42) умножим его скалярно слева на jm :

(jm,y) = Существуют операторы, для которых справедливо равенство - student2.ru .

Тогда формула для коэффициентов разложения в (4.42) представиться в виде:

Cn = (jn,y) (4.43)

В случае непрерывного спектра собственных значений оператора Â любой вектор y гильбертова пространства раскладывается в интеграл, подобный интегралу Фурье:

y = Существуют операторы, для которых справедливо равенство - student2.ru , (4.44)

где ja–собственный вектор оператора Â (4.40), коэффициенты разложения определяются формулой:

c(a) = (ja,y) (4.45)

Действительно, достаточно (4.44) умножить слева скалярно на вектор ja′, чтобы получить нужный результат:

(ja′,y) = ∫(ja′,c(a)ja)da = ∫c(a)( ja′,ja)da = c(a′),

откуда следует формула (4.45).

Прямым следствием замкнутости (полноты) системы собственных векторов эрмитовых операторов является выражение скалярного произведения двух векторов гильбертова пространства:

(y, Ф) = ∫c*(a)b(a)da, (4.46)

где c(a) и b(a) – проекции векторов y и Ф на базисные векторы ja, т.е. на собственные векторы эрмитова оператора Â.

Наши рекомендации