Существуют операторы, для которых справедливо равенство
 = Â+, (4.27)
они называются самосопряжёнными или эрмитовыми операторами. В квантовой механике в основном используются эрмитовы операторы. Условие самосопряжённости с учётом (4.24) записывается в виде:
(j,Ây) = (y,Âj)* (4.28)
Очевидно, что сумма самосопряжённых операторов есть самосопряжённый оператор. При умножении самосопряжённых операторов Â и Ĝ следует иметь в виду, что их произведение даёт эрмитов оператор лишь в том случае, если коммутатор их [Â,Ĝ] = 0, т.е. операторы–сомножители коммутируют друг с другом. Так как всякий оператор коммутирует сам с собой, то целая положительная степень эрмитова оператора Â есть так же эрмитов оператор:
Ân = (4.29)
Символом Î обозначается единичный оператор:
Îy = y (4.30)
Очевидно, ÎÂ = ÂÎ для любого оператора. Если для оператора Â можно подобрать такой коммутирующий с ним оператор Â-1, что будет выполняться условие
 Â-1 = Â-1 = Î, (4.31)
то Â-1 называется обратным по отношению к оператору Â.
Операторы, для которых
Â+ = Â-1 , (4.32)
называются унитарными операторами, следовательно, для них справедливо равенство:
Â+Â = Â-1Â = Î. (4.33)
Легко доказать полезное соотношение:
. (4.34)
В) Собственные векторы и собственные значения самосопряжённыхоператоров.
Если в результате действия оператора Â на вектор j получается произведение некоторой константы a на тот же вектор, т.е выполняется равенство
Âj = аj, (4.35)
то вектор j называется собственным вектором оператора Â, принадлежащим его собственному значению а. Уравнение (4.35) называется уравнением для собственных векторов (функций) и собственных значений. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора. Спектр бывает дискретным, непрерывным или смешанным (дискретно-непрерывным).
Рассмотрим свойства собственных векторов и собственных значений эрмитовых операторов.
Теорема 1. Эрмитов оператор имеет вещественные собственные значения.
Доказательство. Итак, пусть дан эрмитов оператор Â, т.е. Â = Â+ , и его уравнение для собственных векторов и собственных значений (дискретный спектр): Âjn = аnjn. Требуется доказать, что an – действительные числа.
Пользуясь определением самосопряжённости оператора (4.28) для случая y = j = jn , запишем:
(jn,Âjn) = (jn,Âjn) * = (Âjn,jn),
откуда
(jn,anjn) = (anjn,jn),
т.е an(jn,jn)=an*(jn,jn),
значит
an = an*,
т.е. собственные значения эрмитова оператора Â действительны.
Теорема 2. Собственные вектора jn и jm эрмитова оператора Â, принадлежащие различным собственным значениям an≠am, взаимно ортогональны.
Доказательство. На основе эрмитовости оператора (условие (4.28)) можно записать:
(jm, Âjn) = (Âjm,jn).
С учётом теоремы 1 и свойств скалярного произведения векторов (4.10) преобразуем это равенство к виду:
an(jn,jm)=am(jm,jn),
откуда
(an-am)(jm,jn)=0.
Учитывая условие an≠am, получаем
(jm,jn)=0, (4.37)
что означает ортогональность собственных векторов jm и jn, принадлежащих различным собственным значениям. Таким образом, теорема доказана.
Поскольку уравнение (4.35) однородно, то собственные вектора определяются им с точностью до произвольного множителя. Этот множитель можно выбрать так, чтобы норма собственных векторов, согласно (4.9), равнялась единице, т.е.
(jn,jn)=1 (4.38)
Объединяя (4.37) и (4.38), получаем условие ортонормировки собственных векторов эрмитовых операторов с дискретным спектром:
(jm,jn) = δmnº (4.39)
Если спектр собственных значений оператора Â непрерывен, то собственные векторы нельзя пронумеровать числами. В этом случае собственные векторы зависят от собственных значений а как от параметра, что обозначается через jа:
Âjа = аjа (4.40)
Так первая и вторая теоремы легко обобщаются и на случай непрерывного спектра собственных значений эрмитова оператора. Норма же собственных векторов в этом случае не является конечной, т.к. (jа,jа) = ∞. Поэтому условие ортонормировки записывается с помощью δ–функции Дирака:
(jа ,jа) = δ(а΄-а) ≡ (4.41)
В случае f–кратного вырождения некоторого собственного значения собственные векторы, принадлежащие ему, вообще говоря, не ортогональны. Однако, можно составить f линейных комбинаций из этих собственных векторов, удовлетворяющих условию ортонормировки. Система собственных векторов эрмитова[6] оператора является полной (замкнутой), если всякий вектор гильбертова пространства может быть разложен в ряд по собственным векторам эрмитова оператора, т.е
y = (4.42)
Это выражение аналогично (4.5), когда базисными векторами являются собственные вектора jn оператора Â. Для определения коэффициентов cn в разложении (4.42) умножим его скалярно слева на jm :
(jm,y) = .
Тогда формула для коэффициентов разложения в (4.42) представиться в виде:
Cn = (jn,y) (4.43)
В случае непрерывного спектра собственных значений оператора Â любой вектор y гильбертова пространства раскладывается в интеграл, подобный интегралу Фурье:
y = , (4.44)
где ja–собственный вектор оператора Â (4.40), коэффициенты разложения определяются формулой:
c(a) = (ja,y) (4.45)
Действительно, достаточно (4.44) умножить слева скалярно на вектор ja′, чтобы получить нужный результат:
(ja′,y) = ∫(ja′,c(a)ja)da = ∫c(a)( ja′,ja)da = c(a′),
откуда следует формула (4.45).
Прямым следствием замкнутости (полноты) системы собственных векторов эрмитовых операторов является выражение скалярного произведения двух векторов гильбертова пространства:
(y, Ф) = ∫c*(a)b(a)da, (4.46)
где c(a) и b(a) – проекции векторов y и Ф на базисные векторы ja, т.е. на собственные векторы эрмитова оператора Â.