Элементарные деформации. коэффициент пуассона

Рис.4.4. Растягивание резинового шнура с постоянной силой

При всем многообразии случаев произвольную деформацию тела можно свести к двум элементарным деформациям - растяжению (сжатию) и сдвигу. Обратимся к опыту. Закрепим один конец резинового шнура длиной и потянем за другой конец с постоянной силой. Шнур придет в новое положение равновесия с длиной (рис. 4.4). Такую простейшую деформацию можно охарактеризовать относительным удлинением

(4.3.1)

При этом растяжение соответствует , а сжатию - .

Деформацию сдвига можно наблюдать в опыте с резиновым кубиком, если закрепить, например, его нижнее основание, а к верхнему основанию приложить касательную силу. (рис.4.5). Деформация в этом случае будет характеризоваться параметром

, (4.3.2)

зависящим от угла сдвига a, который в большинстве практически важных случаев мал, и g » a.

Рис.4.5. Деформация резинового кубика

Отметим также известный факт, что при растяжении резинового шнура его поперечный размер d уменьшается до величины d₁. Такое поперечное сжатие характеризуется параметром

. (4.3.3)

Опытным путем установлено, что отношение к приблизительно одинаково для разных деформаций одного и того же материала. В теории упругости материал характеризуется коэффициентом Пуассона:

. (4.3.4)

Каково численное значение коэффициента Пуассона? Чтобы ответить на этот вопрос, посчитаем изменение объема резинового шнура.

В отсутствие деформации его объем , объем же деформированного шнура

. (4.3.5)

В последнем выражении мы пренебрегли малыми величинами второго порядка . С учетом (4.3.4) относительное изменение объема запишется в виде

(4.3.6)

Рис.4.6. Деформация кубика в точке Р

Рис.4.7. К понятию тензора деформации

Поскольку при растяжении (e > 0) объем никогда не уменьшается, то . Для изотропных материалов, имеющих одинаковые механические свойства по всем направлениям, коэффициент Пуассона , в частности, для металлов m = 3/10.

Понятие о тензоре деформации. В рассмотренных выше случаях мы имели дело с одномерными однородными деформациями растяжения и сдвига (вдоль одного направления), где e и g оказывались одними и теми же для всех элементарных объемов резинового шнура. Во многих случаях ситуация гораздо сложнее: с одной стороны, деформации меняются от точки к точке (неоднородные деформации), а с другой стороны, не являются одномерными. Последнее означает, что деформации в некоторой точке P описываются тремя деформациями растяжения e₁₁,e₂₂,e₃₃ маленького кубика с т. P внутри (рис. 4.6) и двумя сдвигами каждой из трех граней кубика: g₁₂,g₁₃;g₂₁,g₂₃;g₃₁,g₃₂. Здесь первый индекс i означает, что грань кубика перпендикулярна оси X_i, второй индекс j означает, что грань смещается вдоль оси X_j. Таким образом, неоднородные деформации в каждой точке тела в общем случае характеризуются набором 9 величин деформаций, являющихся функциями координат. Эти девять величин составляют тензор деформаций, но независимы лишь 6 его величин. Рассмотрим несколько подробнее подход, используемый для описания деформации в некоторой точке P, приводящий к введению понятия тензор деформаций. Пусть тело находится в недеформированном состоянии, и известно положение каждой из его частиц, задаваемых радиус-вектором r относительно некоторой системы координат как, например, положение т.P на рис 4.7. При деформировании все его точки, вообще говоря, смещаются. Смещение каждой точки можно охарактеризовать вектором смещения u(x₁, x₂, x₃), являющегося при неоднородных деформациях функцией координат. Деформации в точке будут определены лишь тогда, когда будет известно смещение соседних с т. P частиц тела. Таким образом, задание смещения всех частиц тела полностью определяет его деформацию.

В самом деле, рассмотрим две бесконечно близкие точки P(x₁,x₂,x₃) и P'(x₁+dx₁,x₂+ dx₂,x₃+dx₃), имеющие смещения u(x₁,x₂,x₃) и u'=u(x₁+dx₁,x₂+dx₂,x₃+dx₃). Из рисунка нетрудно видеть, что если взаимное расположение точек в недеформированном состоянии задавалось радиус-вектором проекции, то в результате деформаций новое взаимное расположение задается вектором

(4.3.7)

В частности, если u'=u, то деформации в т. P отсутствуют.

Для удобства описания деформаций возведем (4.3.7) в квадрат и будем оперировать модулями векторов .Тогда

. (4.3.8)

В равенстве (4.3.8) пренебрежем последним членом в правой части, поскольку снижаем деформации малыми (du << dℓ), а проекции вектора du представим в виде сумм

(4.3.9)

Выражение (4.3.9) описывает приращение каждой из трех проекций вектора смещения при переходе из т. P в т. P' и содержит три слагаемых, каждое из которых есть произведение производной функции u_i в т. P на приращение соответствующего аргумента dx_j.

Расписывая в (4.3.8) скалярное произведение в виде

и подставляя (4.3.9) в (4.3.8), получим

(4.3.10)

где, по определению

- тензор деформаций. (4.3.11)

Из его определения видно, что он является симметричным тензором (U_ij= U_ji). Для описания деформаций в каждой т. Р можно выбрать такую систему координат, в которой только три диагональные компоненты тензора U₁₁,U₂₂ и U₃₃ отличны от нуля. Как и в случае приведения тензора инерции к главным осям, уместно напомнить, что для каждой точки тела Р существуют свои три главные оси, относительно которых формула (4.3.10) имеет наиболее простой вид:

(4.3.12)

В качестве примера рассмотрим деформацию сдвига в резиновом кубе, изображенном на рис. 4.5. Для удобства нанесем на его боковую грань прямоугольную сетку, разбивающую эту грань на маленькие квадратики со сторонами, параллельными ее диагоналям (рис.4.8,а). При деформации квадратики превращаются в прямоугольники (рис.4.8,б). Если под и понимать длины диагоналей элементарных квадратика и прямоугольника соответственно, то эти длины можно связать формулой (4.3.12) только в системе координат, оси которой X₁ и Х₂ направлены вдоль ребер элементарных ячеек (ось Х₃ перпендикулярна плоскости чертежа).

Рис.4.8. Деформации в резиновом кубе

Обобщая полученный результат, следует сказать, что при произвольных деформациях главные оси в любой точке Р должны быть направлены параллельно ребрам элементарного прямоугольного

параллелепипеда, который при деформации остается прямоугольным параллелепипедом. Деформации сдвига относительно главных осей координат отсутствуют. Ниже мы установим связь между деформациями сдвига и недиагональными компонентами тензора деформаций. Выясним далее физический смысл диагональных компонент U₁₁, U₂₂ и U₃₃. Относительное удлинение каждой из граней призмы равно соответствующей диагональной компоненте тензора деформаций. В самом деле

. (4.3.13)

Пусть в окрестности т. P(x₁,x₂,x₃) деформации таковы, что кубик со сторонами dx₁, dx₂ и dx₃ превращается в параллелепипед. Для наглядности рассмотрим картину деформации в плоскости X₁ X₂. Смещения вершин квадрата при деформации изображены соответствующими векторами. Длины прямоугольника в направлении главных осей X₁ и X₂ изменились до величин

(4.3.14)

Из (4.3.14) легко вычисляются относительные удлинения:

(4.3.15)

С использованием соотношения (4.3.13) легко также связать изменение элементарного объема с диагональными компонентами тензора. Объем элементарного параллелепипеда

(4.3.16)

и также изменяется при деформациях. Относительное изменение этого объема при малых деформациях , как следует из (1.5.16), равно

(4.3.17)

Важно отметить, что при сдвиге объем тела не меняется. Поэтому при деформациях сдвига сумма диагональных компонент тензора деформаций (иногда употребляют термин "след тензора"), приведенного к главным осям, равна нулю (см. ниже).

Рис.4.9. «След тензора»

УПРУГОСТЬ И ИЗГИБ

УПРУГИЕ ТЕЛА

Как уже отмечалось выше, при деформациях возникают внутренние напряжения, силы которых, в общем случае, зависят не только от деформаций, но и от скоростей, с которыми эти деформации происходят. В этом легко убедиться, если взять полимерное вещество, которое при обычных условиях медленно растекается подобно замазке, принимая форму сосуда, в котором оно находится. Можно без особых усилий изменить его форму, если делать это медленно. Если вылепить шарик, то легко обнаружить, что такой шарик обладает хорошими упругими свойствами, подскакивая практически после удара об пол на ту же высоту, с которой он был брошен без начальной скорости. Этот опыт показывает, что силы деформации, подобно силам вязкого трения, возрастают по мере увеличения скорости деформации. В ряде практически важных случаев силы напряжения определяются только деформациями. Такие тела, в которых это имеет место, называются абсолютно упругими телами, или упругими телами. Замечательным свойством таких тел является способность полностью восстанавливать свою форму после снятия внешних усилий, прикладываемых к телу. Рассмотрим, например, растяжение (или сжатие) стержня (рис. 4.4) с силой F, приложенной перпендикулярно к торцевой грани с площадью сечения S. Опыт показывает, что при последовательном возрастании нагрузки вначале деформации развиваются равномерно по длине стержня и растут пропорционально нагрузке, т.е.

. (5.1.1)

Величина называется нормальным напряжением в торцевом сечении стержня. Пропорциональность деформаций e соответствующим напряжениям выражает закон Гука. Коэффициент пропорциональности c называется коэффициентом удлинения и для каждого материала определяется опытным путем. Так как численные значения e гораздо меньше e, то c - весьма малая величина. Поэтому обычно вводят модуль упругости (модуль Юнга) Е = c^-1, и закон Гука окончательно записывают в виде

Рис.5.1. Диаграмма растяжения

. (5.1.2)

Опыт показывает, что этот закон выполняется лишь в определенном интервале напряжений. Если растягивать стержень, последовательно увеличивая от нуля возрастающую силу, то каждый раз, после снятия нагрузки, деформация исчезает. При некотором напряжении s ³ s_у появляется заметное остаточное удлинение. Это напряжение s_y называется пределом упругости. На (рис.5.1) изображена зависимость деформаций от напряжений, называемая диаграммой растяжений. Следует отметить, что закон Гука выполняется только в части области упругости - области пропорциональности, когда .

Рис.5.2. Образование шейки

При возрастании нагрузки наблюдается явление текучести, т.е. внезапный рост удлинения образца при постоянной нагрузке s_т, называемой пределом текучести. Отметим, что течение материала происходит равномерно по всей длине стержня. За пределами области текучести дальнейшее удлинение стержня сопровождается увеличением s. Деформации будут распределены уже неодинаково по длине стержня (рис. 5.2) - в некотором месте можно заметить образование шейки. При напряжении s_м, называемом пределом прочности, в этом ослабленном сечении происходит разрыв.

То напряжение, которое данный материал может выдержать на практике, не разрушаясь и не получая опасной деформации, называют допустимым и обозначают [s]. Обычно [s] < s_п, и все расчеты проводят на основе законов Гука. Чтобы обеспечить прочность при всех обстоятельствах допустимое напряжение выбирается как часть предела прочности, в частности, для металлов [s] = 0.2s_м, а для дерева[s] = 0.1s_м. Следует отметить, что наибольшие деформации, которые может выдержать материал, не определяются протяженностью области текучести. Если область текучести велика, то материал называется пластичным. Такой материал, как например сталь, способен выдерживать большие нагрузки без разрушения. Наоборот, если область текучести невелика, то этот материал хрупок. Хрупкие материалы, как чугун например, разрушаются при деформациях e ³ e_п. В ряде случаев пластичные материалы могут разрушаться и при малых деформациях e » e_п (например, сталь при температуре ниже - 45°С). Аналогичными свойствами обладают и сдвиговые деформации. В частности, в области пропорциональности связь между деформациями сдвига и касательным напряжением (рис.4.9) задается соотношением

, (5.1.3)

в котором - касательное напряжение, аналогичное по смыслу введенному выше нормальному напряжению, а G - модуль сдвига, являющийся, как и модуль Юнга, также характеристикой материала.

Таблица 5.1

Характеристики упругости и прочности некоторых материалов

Материал	Модуль упругости E	Модуль сдвига G	Предел пропорциональности sП	Предел текучести sТ	Предел прочности при растяжении sМ
Сварочная сталь			1,3...1,6	1,8...2,6	3,3...4,0
Пружинная сталь незакаленная			5,0 и выше	-	до 10 и выше
Пружинная сталь закаленная			8,5 и выше	-	до 17
Медь	1100...1300	415...440	-	0,7
Серый чугун	750...1050	290...400	-	-	1,2...2,4
Свинец	140...180	55...80	-	0,05	0,14...0,18

Из этой таблицы можно сделать два важных вывода.

Во-первых, поскольку предел пропорциональности s_п на 2 ¸ 3 порядка меньше модуля упругости, то в области упругости деформации e_у < 10^-3 ¸10^-2.

Во-вторых, просматривается связь между величиной модуля Юнга E и модуля сдвига G - чем больше E, тем больше и G. Это не случайно, т.к. между обеими величинами существует жесткая связь. Чтобы ее установить, рассмотрим растяжение маленького кубика с длиной стороны , как это было изображено на рис. 5.3.

Рис.5.3. Растяжение кубика (связь между модулем Юнга и модулем сдвига)

Обратим внимание на то, что квадратная грань ABCD параллелепипеда, находящегося внутри рассматриваемого кубика, превращается при деформациях в ромбическую грань A'B'C'D'. Совершенно ясно, что параллелепипед испытывает сдвиговую деформацию, а его объем при этом практически не изменился (см. также формулу (5.1.17)).

Величину угла сдвига a можно легко связать с деформацией удлинения и коэффициентом Пуассона . Из треугольника A'OD' следует, что

. (5.1.4)

Поскольку b << 1, то

. (5.1.5)

Приравнивая правые части (5.1.4) и (5.1.5), находим

. (5.1.6)

Рис. 5.4. Взаимосвязь сил и напряжений, действующих на грани кубика

Сила F, растягивающая кубик (рис. 5.4), создает нормальное напряжение . Это напряжение передается на грани AB и BC параллелепипеда, но силы, действующие на каждую из его граней, имеют не только нормальную к грани, но и направленную вдоль грани параллельную составляющую F_т. Касательное напряжение оказывается при этом равным

. (5.1.7)

Поскольку деформации e в формуле (5.1.6) пропорциональны напряжениям, a s = 2s_т, то

. (5.1.8)

Сравнивая последнее равенство с соотношением (5.1.3), при учете, что, , находим искомую связь между модулями Юнга и сдвига:

. (5.1.9)

В рассмотренном примере следует обратить внимание на то, что величина и направление силы, приложенной к некоторой площадке, зависит от ориентации и величины этой площадки. Так, на грань куба действует сила F, перпендикулярная к грани, в то время как на грань параллелепипеда действует сила F/2, направленная под углом 45°к этой грани. Этот частный вывод получит далее обобщение при обсуждении способов задания сил, действующих на каждый из элементов тела.

Посмотрим, что будет происходить с тем же кубиком, если его растягивать одновременно силами, приложенными ко всем его граням.

В этом случае относительные удлинения каждой из его сторон будут задаваться соотношениями:

(5.1.10)

Формулы (5.1.10) описывают деформации кубика при его всестороннем растяжении или сжатии. Если напряжения одинаковы, (s₁ = s₂ = s₃ = s), то деформации также будут одинаковы: (e₁ = e₂ = e₃ = e) и . В результате всесторонней деформации новый объем кубика станет равным , а его относительное изменение составит величину

. (5.1.11)

Параметр

(5.1.12)

называется модулем всестороннего сжатия и играет важную роль в теории упругости. Важно отметить, что хрупкие материалы, подвергнутые всестороннему давлению, на которое дополнительно накладывается растяжение, сжатие или сдвиг, обнаруживают значительные пластические деформации. Такие деформации играют существенную роль, например, в процессах образования рельефа земной коры: граниты и базальты, хрупкие в обычных условиях, текут под действием колоссального давления в глубинных слоях Земли. Деформации растяжения и сдвига возникают в практически важных случаях изгибов балок строительных конструкций и окруживания валов машин и механизмов.