Ускорения точек тела при плоском движении

Рассматривая плоское движение плоской фигуры как сложное, состоящее из переносного поступательного вместе с полюсом и относительного вращательного вокруг , по теореме о сложении ускорений для точки имеем

. (81)

Так как переносное движение является поступательным вместе с точкой фигуры, то переносное ускорение

Относительное ускорение точки от вращения вокруг полюса обозначим . После этого формула (81) принимает вид

. (82)

т. е. ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоском движении равно векторной сумме ускорения полюса и ускорения этой точки от вращательного движения плоской фигуры вокруг полюса.

Ускорение от относительного вращательного движения вокруг полюса, как и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси, состоит из касательной и нормальной составляющих и :

, (83)

причем

, (84)

, (85)

. (86)

Касательное относительное ускорение направлено по перпендикуляру к отрезку в сторону дуговой стрелки углового ускорения (рис. 43, а). Нормальное относительное ускорение соответственно направлено по линии от точки к полюсу . Наконец, полное относительное ускорение составляет с отрезком угол , тангенс которого можно определить по формуле

. (87)

а) б)

Рис. 43

Из формулы (87) следует, что угол для всех точек плоской фигуры одинаков. При угол от ускорения к отрезку надо откладывать против часовой стрелки. При его надо откладывать по часовой стрелке, т. е. во всех случаях, независимо от направления вращения фигуры, угол всегда надо откладывать в направлении дуговой стрелки углового ускорения. В соответствии с (82) и (83) можно построить в выбранном масштабе многоугольник ускорений для точки (рис. 43, б).

Формулу (82), определяющую зависимость ускорений двух точек плоской фигуры, можно получить непосредственным дифференцированием векторного равенства для скоростей, справедливого в любой момент времени. Имеем

.

Продифференцируем по времени обе части этого равенства, учитывая изменения векторных величин относительно неподвижной системы координат (полные производные). Получаем

.

Здесь , – ускорения точек и относительно неподвижной системы координат; – угловое ускорение плоской фигуры. У вектора постоянный модуль, следовательно, его производная по времени выражается в форме

.

Объединяя полученные результаты, получаем

.

Рассуждения, аналогичные тем, которые проведены для скорости , позволяют сделать вывод о том, что

, ,

т. е. , являются соответственно касательным и нормальным ускорениями от вращения плоской фигуры вокруг точки . Следовательно,

.