Координатный способ задания движения точки

В выбранной системе координат задаются координаты движущейся точки как функции от времени. В прямоугольной декартовой системе координат это будут уравнения:

x=x(t)

y=y(t) (1.4)

z=z(t)

Рисунок 1.3

Эти уравнения являются и уравнениями траектории в параметрической форме. Исключая из этих уравнений параметр t, можно получить три пары систем двух уравнений, каждая из которых представляет траекторию точки, как пересечение поверхностей.

Кроме декартовых могут быть использованы другие системы координат (сферическая, цилиндрическая). Всегда можно перейти от координатного способа задания движения к векторному (рисунок 1.3):

r(t)=i⋅x(t) ⊕ j⋅y(t) ⊕ k⋅z(t) (1.5)

Поэтому, используя формулы для определения скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения, можно получить аналогичные формулы для координатного способа:

То есть:

Направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов:

Формулы (1.6) и (1.7) полностью определяют вектор скорости при координатном способе задания движения точки, т.е. по величине и направлению.

Аналогичны формулы для определения ускорения точки:

Формулы (1.8) определяют величину и направление вектора ускорения. В формулах (1.6) и (1.8) приведены используемые в различных учебниках обозначения проекций скоростей и ускорений точек на оси декартовой системы координат.

Естественный способ задания движения точки

При естественном способе задания движения предполагается определение параметров движения точки в подвижной системе отсчета, начало которой совпадает с движущейся точкой, а осями служат касательная, нормаль и бинормаль к траектории движения точки в каждом ее положении.

Единичные орты τ, n ,b определяют направление соответствующих осей в каждой точке кривой.

Рисунок 1.5

Чтобы задать закон движения точки естественным способом необходимо:

1) знать траекторию движения;

2) установить начало отсчета на этой кривой;

3) установить положительное направление движения;

4) дать закон движения точки по этой кривой, т.е. выразить расстояние от начала отсчета до положения точки на кривой в данный момент времени ∪OM=S(t) .

Зная эти параметры можно найти все кинематические характеристики точки в любой момент времени (рисунок 1.5).

Скорость точки определяется по формулам (1.9)

V=τ⋅dS/dt, V=dS/dt. (1.9)

Первая формула определяет величину и направление вектора скорости, вторая формула только величину.

Ускорение определяется как производная от вектора скорости:

т.е. a=a_τ+a_n. (1.10)

В формуле (1.10)

a_τ=τ⋅dV/dt=τ⋅d²S/dt², a_τ=dV/dt=τ⋅d²S/dt²- касательное ускорение; оно характеризует быстроту изменения величины скорости точки;

a_n=n⋅V²/ρ, a_n=V²/ρ - нормальное ускорение точки; характеризует быстроту изменения направления вектора скорости;

ρ - радиус кривизны траектории в данной точке (например, для окружности:ρ=R , для прямой линии ρ=∞).

Полное ускорение точки определяется следующим образом (рисунок 1.5):

Выше отмечалось, что всегда можно перейти от одного способа задания закона движения точки к другому. Поэтому, преобразовывая одни и те же формулы, можно получить другое их написание.

Например,

или a_τ=acosγ (рисунок 1.5).

Далее

Кинематика твердого тела. Поступательное движение

В кинематике твердого тела определяются: закон движения и кинематические характеристики тела, а также кинематические характеристики точек тела.

В данном методическом пособии рассмотрены следующие виды движения твердого тела:

- поступательное;

- вращательное;

- плоскопараллельное.

Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, перемещается параллельно самой себе.