Параметры атомных ядер

Из опытов Гейгера и Марсдена легко оценить верхний предел размера ядра. В эксперименте использовались а-частицы с энергией Е = 5 МэВ.

Это значит, что если считать поле чисто кулоновским, то минимальное расстояние, на которое подходили а-частицы к ядрам золота (Z = 79), равно (системе СИ)

(10.1)

т. е. оно, по крайней мере, в 104 раз меньше атома.

Отсюда сразу следует, что плотность ядерной материи громадна по сравнению с теми веществами, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни.

Действительно, плотность ядра золота (А = 196)

Возникает естественный вопрос: ядро — это классический объект или

квантовый? Для ответа надо сравнить длину волны де Бройля ядерных частиц с размером ядра. Будем считать, что вылетающие из ядра а-частицы, которые использовались в опытах по рассеянию, являются его структурными единицами. Тогда

. (10.3)

Таким образом, длина волны де Бройля а-частицы близка по порядку величины к размерам ядра. А это означает, что мы имеем дело с чисто квантовым объектом.

Атомные ядра состоят из нуклонов: положительно заряженных протонов

и нейтральных нейтронов, близких друг к другу по массе:

m_р = 1,67239 *10^~27 кг,

m_n = 1,67460*10^~27 кг.

Ядра с одинаковым числом протонов Z называются изотопами, а с одинаковым массовым числом — изобарами. Спин как нейтрона, так и протона равен 1/2, т. е. нуклоны являются фермионами и подчиняются статистике Ферми-Дирака.

Может возникнуть вопрос, нет ли в составе ядра электронов? Оценим, какова должна быть энергия электрона, чтобы его де бройлевская длина волны была порядка размера ядра (имея в виду, что

рR_я ~ ћ):

Е_е = р²/2m_e = ћ²/(2m_eR²) ~ 5 • 10^-11 Дж ~ 3 • 10⁸ эВ, (10.4)

а кулоновское притяжение составляет лишь

U_кул = Ze²/R_я ~ 3 • 10⁶ эВ. (10.5)

Это означает, что электрон не может быть удержан кулоновскими силами в области, обладающей размерами порядка ядерных, иными словами, существование электронов в ядре невозможно.

Как и любая квантовая система, ядро характеризуется моментом импульса I (его часто называют просто моментом или спином ядра) выражаемым в единицах ћ, четностью состояния, зарядом, электрическим квадрупольным моментом, характеризующим распределение заряда, и магнитным моментом.

Масса ядер может выражаться в атомных единицах

(1 а.е.м. = 1/12 массы изотопа углерода

¹²С = 1,6582 • 10^~27 кг),

но обычно она выражается в электронвольтах

(1 а.е.м. = 931,44 МэВ).

Разность А между массой ядра в а.е.м. и его массовым числом А называется дефектом массы ядра:

Нуль дефекта массы по определению у ядра ¹²С. Дефект массы однозначно связан с аналогичной характеристикой ядра — энергией связи. По определению Е_св — это энергия, необходимая для полного расщепления ядра на составляющие его Z протонов и N нейтронов, т. е. это разность массы ядра и суммы масс составляющих его частиц:

E_CB(Z, A) = (Zm_p + Nm_n - M_{z A}) с². (10.7)

Крайне интересна зависимость удельной энергии связи ядер Е_св/А от числа нуклонов, приведенная на рис. 10.1. (Для наглядности шкала по оси абсцисс в области А < 30 увеличена в 3 раза).

Что характерно для этой кривой? Во-первых, имеется максимум в области ядер железа (А ~ 56), т. е. ядра железа — наиболее устойчивая (наиболее сильно связанная) ядерная си-

стема. Это означает, что энергия должна выделяться как при слиянии легких ядер, так и при делении тяжелых. Деление тяжелых ядер является основой современной ядерной

энергетики, а с использованием синтеза легких ядер ученые связывают энергетику будущего.

Рис. 10.1 зависимость удельной энергии связи ядер Е_св/А от числа нуклонов

Вторая особенность удельной энергии связи заключается в том, что она практически не зависит от А и, за исключением легких ядер (А<20), составляет около 8 МэВ. Это свидетельствует о насыщении ядерных сил, т. е. о взаимодействии нуклона только с ближайшими соседями. Действительно, постоянство удельной энергии связи означает, что энергия связи ядра Есв пропорциональна А. Но, если бы каждый нуклон взаимодействовал со всеми остальными нуклонами, то энергия связи была бы пропорциональна (1/2) А(А- 1), т. е. практически А², а не А. Отсюда следует, что у каждого нуклона есть ограниченный запас возможностей взаимодействия, и если этот запас уже израсходован на связь с двумя-тремя соседними нуклонами, то наступает состояние насыщения, а связи с другими нуклонами оказываются ослабленными даже на очень близких расстояниях. Этим свойством ядро напоминает жидкость.

И, наконец, при детальном рассмотрении рис. 10.1 можно заметить нерегулярности в удельной энергии связи (повышенную устойчивость ядер) в областях с числом нуклонов (протонов или нейтронов) 8, 20, 50, 82, 126. Последнее очень напоминает химическую инертность элементов. Эти числа называют магическими, а их выделенность является следствием оболочечной структуры ядра, точно так же, как в атомах аналогичное свойство является следствием характера заполненения электронных оболочек.

Говоря о размерах ядра, надо, конечно, всегда иметь в виду, что это —

довольно условная величина. Во-первых, ядро, как любая квантовомеханическая система, не имеет определенной границы в силу соотношения неопределенностей. Во-вторых, вообще говоря, распределения протонов и нейтронов могут различаться, поэтому надо отличать распределение заряда от массы. Распределение нуклонов прежде всего характеризуется среднеквадратичным радиусом

, (10.8)

где ρ(r) — радиальная плотность нуклонов, усредненная по углам и нормированная на единицу. Часто под радиусом ядра понимается радиус R₃ эквивалентного шара с однородной плотностью.

Сведения о распределении нуклонов извлекают из экспериментов по взаимодействию ядер с пробными телами. В зависимости от того, изучается ли распределение электрического заряда в ядре или ядерного вещества, все мез тоды измерения можно разделить на две группы: электромагнитные и ядерные. В первой группе в качестве пробных частиц используют электроны, позитроны, мюоны — частицы, взаимодействие которых с ядрами имеет электромагнитную природу и которые не участвуют в ядерном взаимодействии (см. ниже). При этом исследуется либо характер рассеяния частиц на

яДРе? либо их состояние, связанное с ядром (сдвиги уровней мезоатомов, сверхтонкое

расщепление и т. п.). С помощью ядерных методов исследуют упругое рассеяние и ядерные реакции, вызываемые ядерноактивными частицами.

Рис. 10.1 радиальная плотность нуклонов, усредненная по углам и нормированная на единицу

Эксперименты показали (рис. 10.2), что в атомном ядре отчетливо различаются внутренняя область почти постоянной плотности и поверхностный слой толщиной 1,2-2 фм, примерно одинаковый для всех ядер. Такое распределение удобно аппроксимировать следующим образом:

(10.9)

В этой формуле R — радиус половинной плотности, т. е. радиус, на котором плотность равна половине плотности в центре ядра. В ядерной физике выражение A0.9) носит название распределения Вудса-Саксона.

На основе результатов многочисленных экспериментов установлено, что для средних и тяжелых ядер среднеквадратичный радиус можно с хорошей точностью представить формулой

. .10)

Соответственно, эквивалентный радиус

R_э = 1,23 A^1/3 фм. (10.11)

Радиус половинной плотности

R_1/2 = 1,12 А^1/3 фм. (10.12)

Реальная форма многих ядер заметно отклоняется от сферической. У таких несферических ядер (их часто называют деформированными) возникают статические электрические квадрупольные моменты, появляются вращательные полосы в спектрах ядерных уровней. Отклонение равновесной формы этих ядер от сферической связано с динамикой ядра как системы многих частиц (нуклонов): для целого ряда многочастичных конфигураций

несферическая (эллипсоидальная) форма оказывается энергетически более выгодной.

Обратимся теперь к характеру сил, удерживающих нуклоны вместе, несмотря на кулоновское отталкивание содержащихся в ядре протонов. Такие силы обычно называют ядерными. Важнейшим свойством ядерных сил является их зарядовая независимость. Последнее означает, что ядерные силы, действующие между любыми двумя нуклонами, находящимися в одном и том же спиновом и орбитальном состоянии, одинаковы. Это свойство было постулировано в связи с экспериментально установленным равенством

ядерных сил в nр- и pp-взаимодействиях. Его наиболее убедительным выражением являются свойства зеркальных ядер, т. е. ядер с зарядами Z и Z + 1, но с одинаковым полным числом нейтронов и протонов. Например, если принять во внимание кулоновские силы, то энергии связи ядер ³Н и ³Не, а также ¹³С и ¹³N оказываются равны.

Таким образом, опыт показывает, что по отношению к ядерным взаимодействиям протоны и нейтроны тождественны. Именно поэтому им дано общее название — «нуклоны».

В задачах, связанных с изучением структуры основного и слабовозбужденных состояний атомного ядра, ядерные силы можно считать потенциальными (как показывает опыт, это справедливо до энергии ~ 300 МэВ). В этом потенциале глубина ямы составляет ~ 50 МэВ, ее радиус ~ 2 фм, а на малых расстояниях (0,3-0,4 фм) имеется «отталкивающая сердцевина» (керн) высотой более 200 МэВ.

Ядерные силы являются проявлением наиболее интенсивного из фундаментальных взаимодействий элементарных частиц — сильного взаимодействия. Согласно квантовой теории поля ядерные силы обусловлены обменом мезонами между нуклонами ядра, подобно тому, как взаимодействие заряженных частиц обусловлено их обменом фотонами. Нуклон на короткое время (как говорят, виртуально) испускает мезон, который поглощается соседним нуклоном. В свою очередь, этот второй нуклон испускает мезон,

который поглощается первым. Такой «обмен» мезонами и приводит к возникновению взаимодействия между нуклонами — к ядерным силам.

Впервые идея подобного происхождения ядерных сил была выдвинута в 1935 г.

X. Юкавой. Испускание мезона нуклоном приводит к тому, что энергия системы «мезон + нуклон» оказывается больше начальной энергии нуклона, что, на первый взгляд, противоречит закону сохранения энергии. Однако в квантовой теории, в соответствии с соотношением неопределенностей, нуклон может испустить мезон на короткое время

Δt ~ ћ/ΔE, где ΔЕ — неопределенность в энергии, примерно равная в данном случае энергии покоя мезона: ΔЕ = μc² (μ— масса мезона). За это время, двигаясь со скоростью

порядка скорости света с, мезон пройдет расстояние r ~ Δt • с ~ћ/( μc) после чего поглотится вторым нуклоном. Следовательно, радиус действия ядерных сил должен иметь порядок

r ~ ћ/( μc) (10.13)

Мы видим, что радиус действия ядерных сил оказывается порядка комптоновской длины волны мезона. Этот вывод имеет гораздо большую общность:

всегда, если взаимодействие между частицами осуществляется за счет обмена виртуальными частицами массы μ, то радиус взаимодействия определяется их комптоновской длиной волны. Поэтому и говорят, что радиус действия электромагнитных сил равен бесконечности, так как масса фотона равна нулю.

Процессы виртуального рождения и поглощения (уничтожения) мезонов нуклонами происходят непрерывно. В результате нуклон все время окружен «облаком» (или «шубой») мезонов. Когда два таких «облака» оказываются друг от друга на расстоянии порядка ћ/(μc), между ними происходит обмен мезонами, т. е. нуклоны взаимодействуют. Частицей наименьшей массы, сильно взаимодействующей с нуклонами, является π-мезон (пион). Его масса примерно в семь раз меньше нуклонной и в 280 раз больше электронной. Эти частицы были впервые обнаружены С. Пауэллом(1903-1969) и Г. Оккиалини (р.1907г) в 1947 г. в космических лучах. Обмен пионами обуславливает ядерные силы на расстояниях порядка 10~13 см. На меньших расстояниях наряду с обменом пионами заметную роль начинает играть обмен более тяжелыми частицами, и картина взаимодействия заметно усложняется. В результате на малых расстояниях (< 0,5 фм) ядерные силы становятся силами отталкивания, а это препятствует попаданию в сферу действия одного нуклона большого количества его соседей, т. е. обусловливает наблюдающееся экспериментально свойство насыщения ядерных сил.

Модели ядра

Атомное ядро представляет собой квантовую систему, состоящую из хотя и большого, но ограниченного числа частиц. Подобная ситуация полностью отлична от той, с которой мы встречались раньше, рассматривая состояния электронов в атомах. В атомах электроны движутся в заданном кулоновском потенциале, в ядре нуклоны движутся в потенциале, который сами же и создают. Фактически здесь мы имеем дело с квантовой задачей многих тел, которая не решена даже для случая трех тел. Поэтому в теории ядра широко

развит модельный подход.

Ядерные модели должны прежде всего описывать свойства основных состояний и спектр возбуждений, являющиеся важнейшей характеристикой любого квантового объекта. Другими словами, ядерные модели должны дать объяснение стабильности ядерного вещества, с помощью нескольких параметров дать возможность вычислить энергию связи как устойчивых, так и неустойчивых (самопроизвольно распадающихся) ядер. Кроме того, они должны правильно описывать типы возбуждений, возможных в ядре.

Рассмотрим подробно капельную модель ядра, которая позволяет правильно вычислить энергии связи ядер (т. е. найти их основное состояние), а также коллективные движения нуклонов, что особенно важно при описании процесса деления атомных ядер. Кроме того, мы качественно обсудим оболочечную модель ядра и причину появления магических чисел нуклонов.

Модель эюидкои капли, формула Ваицзеккера. Результаты измерения радиусов ядер показали, что плотность массы в них приближенно постоянна для различных ядер, т. е. объем ядра V пропорционален числу нуклонов А в нем. Как уже подчеркивалось раньше, этим ядро очень напоминает обычную жидкость, откуда и произошло название модели эюидкой капли, предложенной в 30-х годах независимо К. Вайцзеккером(р.1912г) и Н. Бором. В этой модели ядра рассматриваются как практически несжимаемые заряженные

капли ядерного вещества.

Рассмотрим, каким образом с помощью капельной модели может быть получена формула, выражающая энергию связи (и тем самым массу) ядра через его массовое число А (полное число нуклонов) и заряд Z (число протонов). Число нейтронов N в ядре при этом равно

А - Z. Прежде всего в такую формулу следует включить члены с объемной Е_v, поверхностной E_s и кулоновской Е_к энергиями:

E_v = αA, (10.14)

E_s = -βA^2/3 (10.15)

Е_к = -γZ²/A^1/3 (10.16)

Здесь α, β и γ — некоторые константы, значения которых подбираются так, чтобы модель наилучшим образом описывала экспериментальные данные. Соотношение (10.14) отражает постоянство Е_св/А, следующее соотношение (10.15) — уменьшение энергии связи у поверхностных нуклонов (напомним, что в силу постоянства ядерной плотности объем ядра пропорционален числу нуклонов А, поверхность ос А^2/3, а радиус ос А^1/3), а член (10.16) учитывает кулоновское отталкивание протонов, пропорциональное величине Z² /А^1/3. Указанную зависимость легко понять, если вспомнить, что, например, потенциальная энергия равномерно заряженного шара радиуса R равна (3/5)Z²/R.

Если ограничиться только перечисленными слагаемыми, то окажется, что чем больше нейтронов в ядре, т. е. чем больше величина А при постоянном Z, тем больше Е_св = E_v + E_s + Е_к, и тем стабильнее ядро. Однако действительность оказывается иной: стабильными (устойчивыми) являются далеко не все возможные комбинации из протонов и нейтронов. На координатной плоскости ZN стабильным ядрам соответствует лишь узкая полоска с вполне определенными соотношениями между Z и N (см. рис. 10.3).

Теперь представим себе, что над плоскостью ZN по оси, перпендикулярной ей, отложены величины, обратно пропорциональные временам жизни ядер, т. е. величины, определяющие стабильность этих ядер. Получившуюся поверхность называют долиной стабильности. В самом низу, на ее дне, окажутся стабильные ядра, а вокруг них резко поднимутся горы нестабильных. Чем короче время жизни ядра, тем выше его «гора», с которой он «скатывается» в долину стабильности. В легких ядрах, лежащих на дне долины, число протонов примерно равно числу нейтронов, и этот факт необходимо отразить введением так называемого члена с симметрийной энергией

(10.17)

Рис. 10.3

В тяжелых ядрах равновесие N ~ Z нарушается в пользу нейтронов в силу упомянутого

выше свойства суммы Е_v + E_s + Е_к.

Симметрийная энергия возникает вследствие квантовых свойств ядерной материи, а именно, в силу того, что и протоны и нейтроны являются фермионами, т. е. для них справедлив принцип Паули. Это означает, что нуклоны последовательно заполняют дискретные энергетические уровни, образующиеся в потенциальной яме ядра совершенно аналогично тому, как происходит заполнение электронных уровней в атоме. Так как электрический заряд разных нуклонов различен, протоны и нейтроны независимо последовательно заполняют свои энергетические уровни. На рис. 10.4 схематически изображены протонный и нейтронный потенциалы. Из-за наличия у протонов кулоновского взаимодействия глубина потенциальной ямы для них несколько меньше, чем для нейтронов (эта разница обозначена на рисунке как Е_с). Полная энергия ядра минимальна, когда наивысший протонный и нейтронный уровни находятся на одной высоте, примерно на В = 8 МэВ ниже нулевого уровня (эта величина и есть энергия связи нуклонов).

Рис. 10.4 протонный и нейтронный потенциалы

Если, скажем, нейтронов в ядре больше и их наивысший занятый уровень по энергии расположен выше последнего занятого протонного уровня, то ядро оказывается нестабильным и путем β-распада внутриядерного нейтрона n —>> р+е^- + ν* переходит в состояние с меньшей энергией. Аналогично при избытке протонов ядро нестабильно по отношению к позитронному распаду.

Из приведенных аргументов сразу следует вывод: если величины нейтронного и протонного потенциалов одинаковы, как это практически имеет место в легких ядрах, то числа протонов и нейтронов в ядре должны быть одинаковы, что и наблюдается экспериментально. По мере увеличения Z, в силу роста кулоновского отталкивания протонов, глубина их потенциальной ямы уменьшается, а значит, в ядре будет больше нейтронов.

Это свойство ядерной материи наглядно описывается следующей аналогией. Представим, что нейтроны и протоны подобно обычным жидкостям заполняют два сосуда, соединенные между собой снизу трубкой. Жидкости в сосудах всегда находятся на одном уровне. Как только один из сосудов поднимается, что соответствует изменению глубины потенциальной ямы, так жидкость из него сразу же переливается в другой, обеспечивая минимум энергии.

И, наконец, в энергии ядра следует учесть так называемый эффект спаривания. Эксперименты свидетельствуют о наличии дополнительного взаимодействия притяжения, заставляющего два одинаковых нуклона спариваться между собой, образуя состояния с нулевым моментом количества движения. С подобной спиновой зависимостью потенциала взаимодействия мы уже встречались при обсуждении молекулы водорода. Указанное обстоятельство приводит к тому, что наиболее устойчивы четно-четные ядра (ядра с четным числом протонов и четным числом нейтронов), затем идут четно-нечетные

и, наконец, нечетно-нечетные. Причем масса ядер при последовательном изменении заряда Z на единицу меняется не плавно, а скачкообразно. Любой непарный нуклон всегда имеет меньшую энергию связи. Данный экспериментальный факт учитывается слагаемым Еси, таким, что

(10.18)

В результате аппроксимирующая функция для энергии связи имеет вид

. (10.19)

Значения констант, входящих в формулу (10.19), можно найти, подгоняя ее

под экспериментальные данные. Были получены следующие значения коэффициентов (в МэВ):

α = 14,03, β= 13,03, γ = 0,5835, ε= 77,25, S = 34,57. (10.20)

Полуэмпирическая формула (10.19) называется формулой Вайцзеккера.

Ее можно использовать для исследования свойств стабильности неизвестных

искусственных элементов и выяснения характера их распадов.

Следует отметить, что значения констант (10.20) увязаны между собой

процедурой нахождения оптимального описания экспериментальных данных и зависят от этой процедуры. Поэтому в литературе можно встретить значения, немного отличающиеся от приведенных здесь. К тому же некоторые авторы используют иные зависимости последнего члена в (10.19) от А, например, А^~1/3.

Оболочечная модель ядра. Капельная модель не может объяснить особую устойчивость ядер, имеющих некоторые определенные числа нейтронов и протонов. Например, обнаружилось, что такие элементы, как цирконий (50 нейтронов), олово (50 протонов), барий (82 нейтрона), свинец (82 протона и 126 нейтронов) встречаются на Земле чаще, чем соседние с ними элементы периодической системы. Четыре известных радиоактивных семейства заканчиваются стабильными изотопами, содержащими либо 82 протона, либо 126 нейтронов, либо 82 протона и 126 нейтронов. О высокой стабильности ядер ⁴Не (два протона и два нейтрона) и ¹⁶О (восемь протонов и восемь нейтронов) можно судить по их энергии связи, большей, чем соответствующие энергии соседних изотопов (см. рис. 10.1). Кроме приведенных существуют и другие факты, указывающие на то, что ядра, у которых количество нейтронов или протонов совпадает с числами 2, 8, 20, 28, 82, 126, обладают

особыми свойствами. Эти числа, как уже говорилось, назвали магическими, поскольку было неясно, что они отражают.

Тот факт, что в рамках капельной модели невозможно объяснить особые свойства ядер, содержащих магические числа нуклонов, вполне понятен.

В самом деле, если ядро можно рассматривать как жидкую каплю, то его свойства не должны существенно изменяться при добавлении нескольких нуклонов.

Повышенная стабильность ядер с магическими числами нуклонов очень похожа на свойства электронной системы в атомах. Однако задача о структуре энергетических уровней ядра отличается от аналогичной задачи о сложном атоме прежде всего тем, что в атоме имеется центральное тело — ядро, и достаточно хорошим приближением является задача о движении электрона в заданном потенциале. Для ядра сведение задачи многих тел к одночастичной представляется на первый взгляд безнадежным делом, поскольку взаимодействие между нуклонами весьма велико, и отсутствие центрального тела не позволяет решать ее по аналогии с атомом.

Однако квантовые свойства нуклонов накладывают свои особенности на их движение. Впервые на это указали М. Гепперт-Майер(1906-1972) и И. Енсен в 1949 г.

В основном состоянии ядра нейтроны и протоны по одному заполняют самые нижние энергетические состояния. Если внести в систему добавочный нуклон, то он может занять только вышележащий незанятый уровень. Двигаясь в поле ядра, добавочный нуклон, конечно, будет сталкиваться с остальными нуклонами ядра. Однако в большинстве своем такие столкновения не могут привести к изменению состояния ядра, т. е. к передаче импульса, поскольку изменить состояние нуклона можно, только сообщив ему энергию,

достаточную для перехода вверх на одно из незанятых состояний. Поэтому в процессе движения в ядре нуклон практически не меняет своей энергии.

Таким образом, движение каждого нуклона в ядре можно рассматривать как движение в усредненном поле, образованном другими нуклонами, а это означает, что задача о спектре

состояний нуклонов в ядре может быть сведена к одночастичной задаче.

Pis. 10.5 peaлистичный потенциал, воспроизводящий распределение плотности нуклонов в ядре, и его аппроксимация; для сравнения приведено распределение плотности числа нуклонов ρ(r).

Естественно предположить, что усредненное нуклонное поле является центральным, а вследствие короткодействующего характера ядерных сил, форма этого потенциала должна быть похожа на форму распределения плотности нуклонов в ядре. Хорошим приближени-

ем реалистичного ядерного потенциала является потенциал гармонического

осциллятора вида

. (10.21)

На рис. 10.5 показаны реалистичный потенциал, воспроизводящий распределение плотности нуклонов в ядре, и его аппроксимация; для сравнения приведено распределение плотности числа нуклонов ρ(r).

Энергия трехмерного гармонического осциллятора равна

, (10.22)

где N = n₁ + n₂ + n_з (n₁, n₂, n_з — целые числа), а U₀ — глубина потенциала. Совокупность близлежащих уровней можно рассматривать как нуклонные «оболочки». В случае трехмерного осциллятора группы уровней с разными N как раз и соответствуют разным оболочкам. Такие уровни сильно вырождены, поскольку одно и то же значение энергии (соответствующее одному и тому же значению N) можно получить, беря различные комбинации чисел их, n₂, n_з. Кратность вырождения N-го уровня S равна числу способов, которыми N может быть представлено в виде суммы трех целых (включая значение 0) положительных чисел. Другими словами, это — число способов, которыми N одинаковых шаров могут быть разложены по трем ящикам, и оно равно

S = (N + l)(N + 2)/2. (10.23)

Отсюда сразу следует, что магическими должны быть числа 2, 8, 20, 40, 70 и т. д. Но, кроме первых трех, в экспериментальных результатах они не встречаются. Правильное «магическое» заполнение оболочек получается, если допустить, что в ядрах существует достаточно сильное спин-орбитальное взаимодействие, сосредоточенное в основном вблизи поверхности ядра, поэтому оно более существенно именно для тяжелых ядер, для которых и получается неверная последовательность магических чисел в простой модели

трехмерного осциллятора.

Возбуэюденные состояния ядер. В результате различных ядерных реакций и ядерных превращений нуклоны могут занимать и энергетически более высоко расположенные состояния. Совокупность уровней возбуждения образует спектр возбуждений атомного ядра. Уровни возбуждения бывают одночастичными (они хорошо описываются оболочечной моделью ядра), двух-, трехчастичными (и т. д.) и коллективными — вращательными, соответствующими вращению ядра как целого (это возможно, конечно, только у несферических ядер), или колебательными, соответствующими колебаниям ядерной плотности или поверхности ядра. Значительное число уровней имеет сложную смешанную природу. Наиболее полное теоретическое описание свойств ядер получается в обобщенной модели ядра, развитой О. Бором(р.1922) и Б. Моттельсоном(р.1926), в которой учитывается влияние коллективного движения нуклонов на параметры одночастичного потенциала.

рис. 10.6. спектр низколежащих уровней четно-четного ядра эрбия-166 Ег, у которого вблизи основного состояния наблюдается вращательная полоса положительной четности 2⁺, 4⁺, 6⁺

В качестве примера вращательных состояний на рис. 10.6 приведен спектр низколежащих уровней четно-четного ядра эрбия-166 Ег, у которого вблизи основного состояния наблюдается вращательная полоса положительной четности 2⁺, 4⁺, 6⁺. Отметим, что энергия вращательных уровней (по крайней мере, самых первых) на порядок меньше энергии возбуждения одночастичных, масштаб которой порядка МэВ.

У ядра есть еще одна своеобразная коллективная степень свободы, а именно, колебания всей массы нейтронов относительно всех протонов (дипольные колебания ядра). Поскольку в процессе таких колебаний происходит частичное разделение всех протонов по отношению к нейтронам, они появляются при намного большей энергии, чем колебания поверхности ядра, которые затрагивают лишь несколько поверхностных нуклонов. Характерная энергия таких колебаний, названных гигантским резонансом, лежит в диапазоне 15-20 МэВ. Зависимость частоты гигантского резонанса от А легко оценить. Для любого осциллятора резонансная частота ω₀ определяется жесткостью k и колеблющейся массой m (ω₀= √(k/m). В рассматриваемом нами механизме дипольных

колебаний роль упругой возвращающей силы играет взаимодействие «сдвинутых» нуклонов с ядром. На рис. 10.7 дано схематическое изображение дипольных колебаний ядра, соответствующих гигантскому резонансу.

Рис 10.7. схематическое изображение дипольных колебаний ядра, соответствующих гигантскому резонансу

Число «сдвинутых» нуклонов пропорционально поверхности ядра, т. е. R².

Масса колеблющихся нуклонов ~ R³. Тем самым для энергии гигантского

резонанса (частоты) имеем:

(10.24)

Эта зависимость неплохо согласуется с экспериментальными данными.

При энергии возбуждения ~ 5-6 МэВ число уровней в ядрах (особенно в средних и тяжелых) очень велико, а следовательно, мало расстояние между ними. Установить в таких условиях характеристики каждого отдельного уровня и практически невозможно, и не нужно. Целесообразно ввести понятие плотности уровней с данными квантовыми характеристиками, т. е. число уровней, приходящееся на единичный интервал энергии. Именно эта величина обычно входит в формулы, описыващие различные ядерные процессы при сравнительно больших энергиях возбуждения.

Зависимость плотности уровней от энергии описывается с помощью статистической модели ядра, которая рассматривает возбуждение как нагрев нуклонного газа, связывая энергию возбуждения с температурой нагрева ядра. Эта модель основана на применении термодинамических понятий и закономерностей, которые подробно рассматриваются в следующей части.

Температуру ядра можно определить из средней энергии его возбуждения

точно так же, как это делается в термодинамике:

, (10.25)

где суммирование производится по всем уровням с энергией E_i с учетом их вырождения (g_i — статистический вес i-го уровня). Функция Е(Т) — зависимость энергии ядра от температуры — при Т = 0 должна иметь, согласно третьему началу термодинамики, нулевую производную (теплоемкость):

. (10.26)

Поэтому разложение Е(Т) в ряд при малых Т должно начинаться с квадратичного члена. Следовательно, при малых температурах можно пренебречь членами более высокого порядка и считать, что

Е = аТ². (10.27)

Энтропия системы S в термодинамике вводится через соотношение

dE = TdS (10.28)

откуда

(10.29)

В то же время по статистическому смыслу энтропия связана с плотностью

состояний системы:

S = lnW(E), (10.30)

т. е. в нашем случае плотность уровней

ρ(Е) = Ce^2√aE. (10.31)

Константы а (параметр плотности уровней) и С можно вычислить из модельных представлений или найти на основе экспериментальных данных. Для нас существенно то, что плотность уровней растет с энергией экспоненциально.

В отличие от основного состояния, возбужденные состояния атомных ядер имеют

конечное время жизни т и в результате переходят в основное (или ниже расположенное) состояние нуклонной системы путем испускания каких-либо частиц. Согласно соотношению неопределенностей это приводит к существованию конечной ширины

уровня Г, такой, что

Гτ ~ ћ. (10.32)

Чем выше энергия возбуждения ядра, тем больше возможностей появляется для снятия этого возбуждения, а, значит, тем меньше т и больше Г. При высоких энергиях возбуждения уровни сближаются настолько, что начинают перекрываться, т. е.

расстояние между уровнями D ~ Г, и спектр становится непрерывным. На основании формулы (10.31) легко получить соотношение между плотностями уровней

при разных энергиях:

(10.33)

Рис. 10.8 спектр возбужденных состояний ядра и то, как он отражается в сечениях ядерных реакций

Параметр плотности уровней а для средних ядер приблизительно равен 10. Поэтому, например, если при нулевой температуре (невозбужденное ядро) расстояние между уровнями D составляет 100 кэВ, то при энергии 8 МэВ, в соответствие с формулой (10.33),

оно падает примерно в 108 раз, т. е. до значения порядка 10~3 эВ.

Схематически спектр возбужденных состояний ядра и то, как он отражается в сечениях ядерных реакций, показаны на рис. 10.8. Как следует из экспериментов, дискретный характер спектра уровней существует и при энергии ядра, превышающей энергию присоединения нуклона (энергию связи).

Это является на первый взгляд странным результатом, поскольку в атомной физике аналогичной области возбуждений (выше энергии ионизации) соответствует непрерывный энергетический спектр. Все дело в том, что, в силу короткодействия ядерных сил, ядерный потенциал скорее похож на прямоугольную яму, и поэтому при приближении энергии к нулю ядерным силам соответствует конечное число связанных уровней (напомним, что в

прямоугольной яме энергия уровня Е_n ос n², тогда как в кулоновском поле она пропорциональна 1/n²).