Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции
Рассмотрим квантовые системы, обладающие сферической симметрией. К данному классу относятся наиболее часто встречающиеся задачи квантовой физики:
1) задачи по определению уровней энергии связанных состояний атомов, ионов и других атомоподобных систем;
2) задачи о рассеянии квантовых частиц.
Квантовая система в нерелятивистском приближении будет обладать сферической симметрией, если может быть выбрана система координат, в которой гамильтониан не меняется при вращении.
Для наглядности рассмотрим частный случай – отдельную частицу в сферически симметричном потенциале без учёта спина s. Гамильтониан частицы имеет вид:
(25.1)
В случае сферически-симметричного поля, когда потенциал поля зависит только от (а не от и ), вращение относительно любой оси оставляет неизменным гамильтониан . Отсюда следует и сохранение момента количества движения и всех его проекций. Таким образом, являются интегралами движения.
(25.2)
Из соотношений (25.2) следует, что величины - одновременно измеримы, т.е. составляют полный набор величин, задание которого определяет состояние квантовой системы. Иначе говоря, состояние квантовой системы однозначно задаётся квантовыми числами .
Согласно рассмотренной выше теореме, если операторы коммутируют, то они имеют общую полную систему собственных функций. Общие собственные функции операторов одновременно удовлетворяют уравнениям:
, . (25.3)
, (25.4)
. (25.5)
Для нахождения спектра значений энергии , определяемого уравнением (25.3), следует отыскать функции, которые являются одновременно собственными функциями операторов и . Для определения спектра значений энергии квантовой частицы в сферическом потенциале будем искать решение (25.3) в виде:
, (25.6)
Где -радиальная, а - сферическая (шаровая) волновые функции. Так как и зависят только от угловых переменных и , то функции удовлетворяют уравнениям:
, (25.7)
. (25.8)
Подставляя (25.1) и (25.6) в (25.3) получим следующее радиальное уравнение Шредингера для квантовой частицы в сферически-симметричном потенциале:
.
Выразим гамильтониан системы в сферической системе координат. Поскольку , то для этого достаточно выразить оператор Лапласа в сферической системе координат. Мы же воспользуемся для этого принципом соответствия. Для этого запишем функцию Гамильтона в сферической системе координат, а затем перейдём к операторному равенству.
.
Используя формулу получим:
,
где
.
Откуда .
Таким образом, в сферической системе координат выглядит следующим образом:
.
Откуда по принципу соответствия оператор Гамильтона имеет вид:
,
Или
(25.9)
Используя явный вид оператора в сферической системе координат (25.9) и подставляя решение в виде (25.6) получим стационарное уравнение Шредингера:
. (25.10)