Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции

Рассмотрим квантовые системы, обладающие сферической симметрией. К данному классу относятся наиболее часто встречающиеся задачи квантовой физики:

1) задачи по определению уровней энергии связанных состояний атомов, ионов и других атомоподобных систем;

2) задачи о рассеянии квантовых частиц.

Квантовая система в нерелятивистском приближении будет обладать сферической симметрией, если может быть выбрана система координат, в которой гамильтониан Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru не меняется при вращении.

Для наглядности рассмотрим частный случай – отдельную частицу в сферически симметричном потенциале без учёта спина s. Гамильтониан частицы имеет вид:

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru (25.1)

В случае сферически-симметричного поля, когда потенциал поля зависит только от (а не от и ), вращение относительно любой оси оставляет неизменным гамильтониан Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru . Отсюда следует и сохранение момента количества движения и всех его проекций. Таким образом, Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru являются интегралами движения.

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru (25.2)

Из соотношений (25.2) следует, что величины Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru - одновременно измеримы, т.е. составляют полный набор величин, задание которого определяет состояние квантовой системы. Иначе говоря, состояние квантовой системы однозначно задаётся квантовыми числами Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru .

Согласно рассмотренной выше теореме, если операторы коммутируют, то они имеют общую полную систему собственных функций. Общие собственные функции операторов Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru одновременно удовлетворяют уравнениям:

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru , . (25.3)

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru , (25.4)

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru . (25.5)

Для нахождения спектра значений энергии Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru , определяемого уравнением (25.3), следует отыскать функции, которые являются одновременно собственными функциями операторов Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru и Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru . Для определения спектра значений энергии квантовой частицы в сферическом потенциале Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru будем искать решение (25.3) в виде:

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru , (25.6)

Где Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru -радиальная, а Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru - сферическая (шаровая) волновые функции. Так как Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru и Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru зависят только от угловых переменных Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru и Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru , то функции Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru удовлетворяют уравнениям:

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru , (25.7)

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru . (25.8)

Подставляя (25.1) и (25.6) в (25.3) получим следующее радиальное уравнение Шредингера для квантовой частицы в сферически-симметричном потенциале:

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru .

Выразим гамильтониан системы Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru в сферической системе координат. Поскольку Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru , то для этого достаточно выразить оператор Лапласа в сферической системе координат. Мы же воспользуемся для этого принципом соответствия. Для этого запишем функцию Гамильтона в сферической системе координат, а затем перейдём к операторному равенству.

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru .

Используя формулу Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru получим:

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru ,

где

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru .

Откуда Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru .

Таким образом, Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru в сферической системе координат выглядит следующим образом:

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru .

Откуда по принципу соответствия оператор Гамильтона имеет вид:

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru ,

Или

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru (25.9)

Используя явный вид оператора Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru в сферической системе координат (25.9) и подставляя решение Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru в виде (25.6) получим стационарное уравнение Шредингера:

Движение частиц в сферически симметричном потенциале. Интегралы движения. Полный набор физических величин и их общие собственные функции - student2.ru . (25.10)

Наши рекомендации