Задачи для самостоятельного решения. На вал переменного сечения насажены шкивы

На вал переменного сечения насажены шкивы. Ступени вала имеют сплошное и кольцевое сечение. Соотношение внутреннего и наружного диаметров кольцевого сечения с = d / D = 0,5. Шкив 1 передает мощность от источника энергии на вал N₁, а остальные шкивы снимают с вала и передают машинам мощности соответственно N₂, N₃, N₄. Вал вращается со скоростью n = 250об/мин. Допускаемые касательные напряжения [τ] = 30 МПа, допускаемый относительный угол закручивания [θ]=7,5 10^-3 рад/м.

Определить диаметры его ступеней из расчетов на прочность и жесткость.

Расчетные схемы указаны на рис. 105 а числовые данные приведены в табл. 8.

Таблица 8

Мощность, передаваемая шкивами, кВт

Вариант	N1	N2	N3	N4
			?
			?
				?
			?
				?
			?
				?

Рис. 105

Срез и смятие

Сдвиг (срез)

Сдвигом называется нагружение, при котором две равные силы близко расположенные друг к другу, перпендикулярные к оси бруса и направленные в противоположные стороны. В поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - поперечная сила.

Рис. 106

Рассмотрим брус, на который действуют равные по величине, противоположно направленные, перпендикулярные продольной оси силы – (рис.106) как это бывает при разрезании ножницами. При достаточной величине усилия происходит срез. Левая часть тела отделяется от правой по сечению ab. Величина, на которую сечение cd сдвинулось относительно сечения ab, называется чистым сдвигом.

Угол на который изменяются прямые углы параллелепипеда называют относительным сдвигом (рис. 107)

Рис. 107

Относительный сдвиг может быть определен из соотношения

Величина касательных напряжений в сечении может быть определена из формулы:

Экспериментально установлено что величина сдвига cc₁ac пропорциональна силе Р, обратно пропорциональна площади А и расстоянию ас на котором это сдвиг происходит.

, где G коэффициент пропорциональности, который зависит от свойств материала.

Учитывая что , а получим:

G можно рассчитать по формуле G 0,4Е, Е — модуль упругости при растяжении. [G] = МПа.

Условие прочности при сдвиге (срезе)имеет вид

,

[τ_с] — допускаемое напряжение сдвига, обычно его определяют по формуле

[τ_с] = (0,25 ÷ 0,35) σ_т.

Смятие

Одновременно со сдвигом происходит часто смятие боковой поверхности в месте контакта в результате передачи нагрузки от одной поверхности к другой. При этом на поверхности возникают сжимающие напряжения, называемые напряжениями смятия, σ_см.

Расчет также носит условный характер. При расчете боковой цилиндрической поверхности напряжения по поверхности распределены не равномерно, поэтому расчет проводят для наиболее нагруженной точки В (рис. 108). Для этого вместо боковой поверхности цилиндра в расчете используют плоскую поверхность, проходящую через диаметр (рис. . Таким образом, условие прочности при смятии можно выразить соотношением

;

А_см = dδ, где d — диаметр окружности сечения; δ — наименьшая высота соединяемых пластин; А_см — расчетная площадь смятия; допускаемое напряжение смятия: [σ_см] = (0,35 ÷0,4)σ_т; F — сила взаимодействия между деталями.

Рис. 108

Примеры расчета деталей, работающих на сдвиг (срез) и смятие приведены в разделе соединения заклепками и сварные соединения.

Изгиб

Если в сечении возникает только изгибающий момент M_x или M_y (рис. 109), имеет место чистый изгиб.

Рис. 109

Если же кроме изгибающего момента в сечении стержня возникает еще поперечная сила, то изгиб называют поперечным. Случаи действия в поперечных сечениях стержня одновременно нескольких внутренних силовых факторов относят к сложным видам деформированного состояния.

Значительное количество деталей механизмов или элементов этих деталей в процессе работы подвергаются воздействию нагрузки, перпендикулярной к продольной оси, или внешних пар, действующих в плоскости, проходящей через продольную ось (рис.110, а, б).

Рис. 110

При этом в поперечных сечениях деталей или их элементов возникают изгибающие моменты, т. е. внутренние моменты, действующие в плоскости, перпендикулярной к плоскости поперечного сечения. Такой вид нагружения называют изгибом. Стержни, работающие в основном на изгиб, принято называть балками. Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, изгиб называют чистым. При этом в сечении отсутствуют поперечные силы. При наличии в поперечном сечении наряду с моментом поперечных сил изгиб называют поперечным.

Плоскость действия изгибающего момента называется силовой плоскостью. Если силовая плоскость проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения балки, изгиб называют простым или плоским. При этом ось балки после деформации остается в силовой плоскости.

Деформацию изгиба легко проследить на модели, представляющей собой прямолинейный призматический брус, длина которого зна­чительно превышает его поперечные размеры. На боковые грани бруса нанесены равноотстоящие горизонтальные и вертикальные линии (рис. 49, а). В плоскости симметрии aebf к концам бруса приложены два равных противоположно направленных момента, под действием которых брус изгибается.

Основные признаки чистого изгиба:

1. Плоские поперечные сечения бруса остаются плоскими и поворачиваются на некоторый угол относительно друг друга.

2. Плоские продольные сечения искривляются (рис111, б), о чем свидетельствует искривление продольных горизонтальных прямых, нанесенных на боковые грани.

3. Волокна на вогнутой стороне бруса укорачиваются, что свидетельствует об их сжатии, а на выпуклой стороне — удлиняются, растягиваются. Кроме того, у бруса существует слой, который не испытывает ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. След ef нейтрального слоя на плоскости поперечного сечения называют нейтральной осью (рис, 111, в). След а'b' силовой плоскости на поперечном сечении балки называют силовой линией.

Рис. 111

Рассматривая торцовые плоскости изогнутого бруса, легко заме­тить, что поперечное волокно k'l' (рис. 111, в), расположенное на сжатом продольном слое, оказывается растянутым, а волокно n'm', расположенное на растянутом продольном слое, — сжатым. Нейтральная ось ef своей длине не изменяет. Таким образом, здесь наблюдаются те же явления, что и при простом растяжении и сжатии, когда знак поперечной деформации противоположен знаку продольной деформации, т. е. продольное растяжение сопровождается поперечным сжатием и продольное сжатие приводит к поперечному растяжению.

Величина деформации волокон как в продольном, так и в поперечном направлении тем больше, чем дальше они расположены от нейтрального слоя или нейтральной оси.

Рис. 112

Рассмотрим поперечное сечение балки mn (рис.54), определяемое абсциссой х. Сечение mn делит внешние силы и моменты, приложенные к балке, на две взаимно уравновешивающиеся системы, одна из которых действует слева от сечения, другая – справа.

Главный вектор и главный момент сил, действующих слева от сечения, соответственно равны по модулю и противоположны по направлению главному вектору и главному моменту, действующих справа от сечения.

Главный вектор Q и главный момент М являются статическими эквивалентами внутренних сил, возникающих при изгибе в поперечном сечении. Главный вектор внешних сил, действующих на балку по одну сторону от данного сечения, называется поперечной силой в данном сечении.

В соответствии с характером деформаций стержня примем следующие правила знаков. Изгибающий момент считается положительным, если он изгибает горизонтально расположенный стержень (балку) выпуклостью вниз (рис.113, а), и отрицательным, если изгибает балку выпуклостью вверх (рис. 113, б).

Рис. 113

Поперечная сила считается положительной, если для левой части балки она направлена вверх, а для правой – вниз, и отрицательной, если для левой части балки она направлена вниз, а для правой – вверх (рис.114).

Рис. 114

Для оценки прочностной надежности стержня следует установить сечения, в которых внутренние силовые факторы имеют максимальные значения. Анализ внутренних силовых факторов будет наглядным при наличии эпюр — графиков изменения поперечных сил и изгибающих моментов вдоль центральной оси стержня. Построение эпюр обычно начинают с определения опорных реакций. Затем стержень разбивают на участки с однородной внешней нагрузкой. Далее рассматривают произвольное сечение в пределах данного участка и составляют общие выражения для поперечной силы и изгибающего момента в этом сечении. Давая аргументу х произвольные значения в пределах того же участка, находят ординаты эпюр.