Пространственное квантование

Из курса электричества и магнетизма известно, что орбитальный момент импульса электрона и пропорциональный ему магнитный момент ориентированы перпендикулярно плоскости орбиты и направлены в противоположные стороны, рис.36. и связаны соотношением:

,

где - орбитальное гиромагнитное отношение, - масса электрона.

В квантовой механике, естественно, не может быть указана ориентация моментов относительно плоскости орбиты. Для указания их ориентации должно быть выбрано некоторое направление в пространстве и расположение вектора определяется углом между и этим направлением, за которое принимается направление либо внешнего магнитного поля, либо внутреннего магнитного поля, создаваемого всеми электронами (кроме рассматриваемого). В классической теории предполагалось, что может быть ориентирован относительно избранного направления произвольным образом.

В теории Бора возможность любых ориентаций означает, что плоскость орбиты электрона может быть ориентирована произвольно по отношению к внешнему магнитному полю. Однако это предположение ошибочно. Оказалось, что для квантового объекта существует пространственное квантование, которое определяется следующим образом: Вектор момента импульса электрона может принимать только такие ориентации в пространстве, при которых проекция механического орбитального момента на направление внешнего магнитного поля (Z) принимает квантованные значения, кратные h.

Это можно записать: , где - магнитное квантовое число, которое принимает значения: , то есть, всего ( ) значений. Ориентация момента для двух значений орбитального квантового числа показана на рис.37. Как мы говорили выше, можно записать:

т.е. энергия электрона зависит только от n. Следовательно, каждому собственному значению энергии собственных функций , отличающихся значениями и . Это приводит к очень важному выводу: Атом водорода может иметь одно и тоже значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний с фиксированными значениями энергии – кратностью вырождения. Кратность вырождения определяется: , т.к. каждому из n значений соответствует значений .

Рассмотрим в качестве примера первые два уровня энергии:

1. -

2. - ;

;

т.е. получим для четыре состояния, кратность вырождения n² = 4.

Состояния с различными значениями отличаются величиной момента импульса.

В атомной физике применяются заимствованные из спектроскопии обозначения состояний электрона с различными значениями момента импульса.

Электрон, находящийся в состоянии с называется s-электрон (s-состояние); - p-электрон (р - состояние) и далее: d, f, g,....

Следовательно, применяя для обозначения состояния запись (вместо главного квантового числа подставляем его значение, вместо орбитального соответствующую букву латинского алфавита), получим следующий набор возможных состояний электрона: 1s; 2s,2p; 3s,3p,3d; 4s,4p4d,4f; и т.д.

Учитывая n и можно показать энергетические уровни водорода, рис.37. Однако не все переходя между уровнями являются равновероятными. Возникающий спектр регламентируется так называемыми правилами отбора, определяющими изменения квантовых чисел, при которых происходит излучение. переходы сопровождаемые излучением. Для квантового числа соблюдается правило отбора (для магнитного квантового числа - ). Правило отбора для обусловлено тем, что фотон обладает собственным моментом импульса (спином), равным . При испускании фотон уносит из атома этот момент, а при поглощении привносит. Т.о., правила отбора являются следствием закона сохранения момента импульса.². Более подробно правила отбора при излучении будут рассматриваться ниже.

Из схемы энергетических уровней, показанных на рис.38, можно записать для серии Лаймана: , для серии Бальмера:

и т.д.

Состояние 1s - основное состояние атома водорода, соответствующее минимальной энергии. Наличие магнитного квантового числа должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом n (снятию вырождения) на подуровней. Соответственно, в спектре атома должно наблюдаться расщепление спектральных линий.

Эффект Зеемана

В 1896 году голландский физик П. Зееман, изучая спектр паров натрия, помещенных во внешнее магнитное поле, обнаружил расщепление спектральных линий на несколько компонентов. Это явление получило название эффекта Зеемана. Расщепление весьма невелико – при напряженности внешнего магнитного поля 20-30 тысяч эрстед, оно достигает лишь несколько десятых долей ангстрема. Естественно предположить, что расщепление спектральных линий обусловлено расщеплением под действием магнитного поля энергетических уровней атомов. Причину такого расщепления легко понять, если учесть, что вращающийся по орбите электрон, как мы уже говорили, обладает, наряду с механическим моментом, также и магнитным, которые связаны между собой гиромагнитным отношением: .

Хотя представление об орбитах, как и вообще представление о траекториях микрочастиц, является неправильным, данное соотношение остается, как показывает эксперимент, справедливым.

Известно, что магнитный момент обладает в магнитном поле энергией, зависящей от модуля и взаимной ориентации и :

где - проекция магнитного момента электрона на направление внешнего магнитного поля.

Учитывая квантование орбитального механического момента можно записать:

Величина

называется магнетоном Бора. Тогда:

(2.21)

Полная энергия атома водорода во внешнем магнитном поле с учетом (2.21) будет равна:

(2.22)

где первый член – энергия кулоновского взаимодействия между электроном и протоном, второй – энергия взаимодействия между магнитным моментом и внешним магнитным полем.

Формула (2.22) позволяет объяснить влияние магнитного поля на энергетические уровни атома. В случае отсутствия магнитного поля (В=0) энергетический уровень определяется только первым членом. Когда же , то необходимо учитывать различные допустимые значения .

Напомним, что при заданных n и квантовое число может принимать возможных значений: . Это же означает расщепление первоначального энергетического уровня на подуровней.

Теперь можно понять происхождение мультиплетов Зеемана. На рис.39 рассмотрены возможные переходы в атоме водорода между состояниями для двух случаев: когда внешнее поле отсутствует (В=0); в присутствие внешнего магнитного поля.

В отсутствие внешнего магнитного поля наблюдается одна линия с частотой . В магнитном поле р-состояние расщепляется на три подуровня (при ), с каждого из которых могут происходить переходы на уровень s, и каждый переход характеризуется своей частотой: . Следовательно в спектре появляется триплет, наблюдается нормальный эффект Зеемана

На рис.40 показано более сложный случай расщепления энергетических уровней и спектральных линий для перехода между состояниями и . Состояние в магнитном поле расщепляется на пять подуровней (при ) состояние р – на три ( ). На первый взгляд может показаться, что первоначальная линия должна в этом случае расщепиться на семь компонентов. Однако и на самом деле получается, как и в предыдущем случае лишь три компоненты: линия с частотой и две симметрично расположенные относительно нее линии с частотами и . Это объясняется тем, что для магнитного квантового числа также имеется правило отбора, согласно которому возможны только такие переходы, при которых квантовое число либо остается неизменным, либо изменяется на единицу:

(2.23)

Происхождение этого правила можно пояснить следующим образом. Если механический момент атома электрона изменяется на единицу (точнее, изменяется на единицу квантовое число , определяющее величину механического орбитального момента – фотон уносит с собой момент, равный единице), то изменение проекции момента не может быть больше единицы.

С учетом правила (2.23) возможны только переходы, указанные на рис.41. В результате получаются три компоненты с частотами, указанными выше. Опыт показывает, что эти компоненты поляризованы. Характер поляризации зависит от направления наблюдения. При поперечном наблюдении (то есть при наблюдении в направлении перпендикулярном к вектору ) световой (электрический) вектор несмещенной компоненты (ее называют - компонентой) колеблется в направлении, параллельном вектору , а в смещенных - компонентов – в направлении, перпендикулярном к , рис.40 (а). При продольном наблюдении получаются только две смещенные компоненты. Обе поляризованы по кругу: смещенная в сторону меньших частот – против часовой стрелки, смещенная в сторону больших частот – по часовой стрелке.

Получающееся в рассмотренных случаях смещение компонент называется нормальным или лоренцевым смещением. Величина нормального смещения, очевидно из выражения (2.22) равна:

(2.24)

Нормальный эффект Зеемана наблюдается в том случае, если исходные линии не обладают тонкой структурой (являются синглетами). Если исходные уровни обладают тонкой структурой, то в спектре появляетсябольшее число компонентов и наблюдается аномальный эффект Зеемана.

Появление тонкой структуры спектра связано со спин-орбитальным взаимодействием, которое будет рассмотрено выше. Отметим только, что аномальный эффект Зеемана объясняется существованием спинового механического момента у электрона и вдвое большим гиромагнитным отношением для спиновых моментов, чем для орбитальных.

Во внешнем электрическом поле также, как оказалось наблюдается расщепление спектральных линий, связанное с расщеплением энергетических уровней.

Эффект Штарка

Расщепление спектральных линий в электрическом поле считалось в классической теории невозможным. Однако в 1913 году Штарк обнаружил это расщепление. В целом это явление оказалось значительно сложнее расщепления в магнитном поле. В простых случаях, в частности в спектре водорода, расщепление растет пропорционально напряженности поля . С чем же связано это расщепление?

Наложение внешнего электрического поля нарушает простую шаровую симметрию «точечного» центрального заряда. Это поле действует так же, как электроны атомного остова в водородоподобных атомах. Такое возмущение устраняет «вырождение» эллиптических орбит, оно придает различные энергии орбитам с одинаковым главным квантовым числом , но различными орбитальными квантовыми числами . Следовательно, в электрическом поле схемы уровней, принадлежащих этим орбитам, уже не совпадают.

Для большинства атомов, однако, расщепление возрастает пропорционально квадрату напряженности электрического поля. Наблюдения ведутся при напряженности поля порядка 10 ⁷ В/м. Возникновение этого «квадратичного эффекта» Штарка объясняется гироскопической прецессией атомов. Внешнее электрическое поле поляризует атомы и сообщает им электрический дипольный момент ( - поляризуемость). На возникший таким образом диполь действует момент силы , который и вызывает прецессию.