Линейный гармонический осциллятор

Линейный гармонический осциллятор - система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы - является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой механики. Примерами классических осцилляторов являются пружинный, физический и математический маятники. Рассмотрим один из механических аналогов гармонического осциллятора: шарик, подвешенный на пружине рис.32. Сила, действующая на шарик, определяется: , где – жесткость пружины. Потенциальная энергия шарика имеет вид: . Выведенный из равновесия, шарик совершает гармонические колебания с частотой . Вид потенциальной кривой гармонического осциллятора как видно из выражения для D – парабола. Сопоставляя выражения для частоты и потенциальной энергии, получим:

где - собственная частота колебаний осциллятора, - масса осциллирующей частицы. Поскольку вид потенциальной кривой – парабола, то потенциальная яма в данном случае является параболической, рис.33. В точках с координатами полная энергия равна потенциальной. Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области ; . Такой выход означал бы, что потенциальная энергия частицы больше полной и значит:

.

Таким образом, классический осциллятор находится в потенциальной яме с координатами без права выхода. Гармонический осциллятор в квантовой механике - квантовыйосциллятор - описывается уравнением Шредингера, учитывающим вид зависимости потенциальной энергии:

где - полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что такое уравнение решается только при собственных значениях энергии, равных:

(2.20)

Следовательно, энергия квантовая осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т.е. квантуется. Энергия ограничена снизу отличным от нуля минимальным значением энергии .Эта энергия называется – энергия нулевых колебаний.

Существование минимальной энергии является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.

Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находится на дне ямы, причем этот вывод не зависит от ее формы. Действительно, нахождение частицы на дне ямы означает обращение в ноль импульса частицы: , но на дне ямы E = U = 0, т.е.

Так как (определенное значение, то ). Тогда неопределенность , что противоречит пребыванию частицы в яме. Этот вывод противоречит выводам классической теории, согласно которым наименьшая энергия осциллятора равна нулю (соответствует покоящейся в положении равновесия частице).

Из выражения для Е_n следует, что уровни энергии в осцилляторе зависят от квантового числа n и расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, в отличии от потенциальной ямы с прямоугольными стенками.

Таким образом, в квантовом осцилляторе имеется нулевая энергия - E₀ . Существование E₀ подтверждается экспериментально при изучении рассеяния света кристаллами при низких температурах. Оказывается, что интенсивность рассеяния света по мере понижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому значению, указывающему, что и при абсолютном нуле температуры колебания ионов в узлах кристаллической решетки не прекращаются. Т.е. существуют нулевые колебания.

Квантовая механика позволяет вычислить вероятность различных переходов квантовой системы из одного состояния в другое. Подобные вычисления показывают, что и для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких квантовых переходах выполняется условие: . Условие, которое накладывается на изменение квантовых чисел при переходах из одного состояния в другое, называются правилами отбора.

Из (2.20) вытекает, что энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями . Этот результат, получающийся естественный образом, совпадает с тем весьма чужеродным для классической физики предположением, которое пришлось сделать Планку при вычислении излучательной способности абсолютно черного тела.