Определение невыгодного положения нагрузки на сооружение

Невыгодным назовем такое положение нагрузки, при котором усилие в каком-либо интересующем нас сечении принимает наибольшее значение.

Пусть для какого то сечения построена л.в. усилия S (рис.2.14). Если на балку действует один сосредоточенный вертикальный груз, то наибольшая величина усилия S в сечении будет тогда, когда груз будет располагаться над наибольшей ординатой этой линии. При разнозначной л.в. можно говорить о наибольшем положительном S_max или наибольшем отрицательном усилии S_min.

Рис. 2.14

Если балка нагружена парой одинаковых сил(например колесной парой тележки крана на подкрановой балке)(рис.2.15), то необходимо найти наибольшее значение суммы .Если силы F одинаковы, то наибольшее влияние эта пара окажет тогда, когда один из грузов будет располагаться над наибольшей ординатой л.в:

S_max = F(y₃ + y₄ ) , S_min =F(y₁ + y₂). (4.2)

Найдем невыгодное положение цепочки грузов на треугольной линии влияния (рис2.16).

При любом положении нагрузки влияние этой цепочки может быть выражено формулой

S= F₁ y₁ +F₂ y₂ + . . . +F_n y_n. (5.2)

При разном положении цепочки связанных грузов усилие S является функцией от y.

S = f (y). (6.2)

Чтобы найти наибольшее значение функции S, нужно исследовать ее на экстремум. Рис.2.15

В точке экстремума производная от функции S меняет знак: функция возрастает пока и убывает, когда .

Запишем производную от S по x

+ . . . + (7.2)

На левом участке л.в. угол наклона к оси балки постоянный. Поэтому на этом участке

На правом участке

Производную можно теперь записать так:

. (8.2)

Обращаясь к рис.2.16 можно сформулировать критерий экстремальности положения нагрузки так: при бесконечно малой передвижке цепочки грузов

Рис.2 .16

по л.в. производная должна поменять знак Это может произойти только в том случае, когда один из грузов, стоящий около максимальной ординаты л.в.перейдет с левой ветви на правую.

Пример.

На балку, пролетом 16 м (рис.2.17) действует цепочка связанных грузов. Т0гда

Требуется найти невыгодное положение, при котором изгибающий момент в сечении I – I будет наибольшим.

Пусть грузы расположены так, как показано на рис.2.17с. Предположим, что груз F= 5 кН располагается чуть слева от максимальной ординаты y = 3. Тогда

= (8 + 7 + 10 + 5) 0,75 – (18 + 15) 0,25= 22,5 -8,25 = 14,25 >0.

Предположим, что груз F= 5кН располагается чуть справа от максимальной ординаты y =3. В этом случае

(8 + 7 + 10) 0,75 – (5 + 18 + 15) 0,25 = 18,75 – 9,5 = 9,25>0.

Рис.2.17

Производная не поменяла знака. Положение нельзя считать невыгодным.

Передвинем цепочку грузов вправо. Новое положение показано на рис.2.17d..Предположим, что груз F = 10 кН расположен чуть слева от максимальной ординаты л.в. Тогда

(8 + 7 + 10) 0б75 – (5 +18 + 15) 0,25 = 9,25 >0.

Предположим, что груз F = 10 кН располагается чуть справа от ординаты y = 3. Тогда

(8 + 7) 0,75 – (10 + 5 + 18 + 15) 0,25 = 11,25 – 12,0 = - 0,75 <0.

Производная поменяла знак. Значит положение цепочки грузов, изображенное на рис.2.17d невыгодное. При таком расположении грузов момент в сечении I – I будет

наибольшим.

Вопросы для самоконтроля

1.Что называется линией влияния (л.в.)?

2.В чем отличие линии влияния от эпюры?

3.Какова размерность ординат линий влияния изгибающего момента, опорной реакции, поперечной силы?

4.Сформулируйте правила построения л.в. М и Q для сечения , заданного между опорами балки на двух опорах.

5.Сформулируйте правила построения л.в.М и Q для сечения, заданного на консоли.

6.Как вычисляются усилия по л.в. от заданной произвольной неподвижной нагрузки?

7.Как устанавливаются знаки при вычислении усилий по л.в.(при загружении л.в.)?

8.Каков порядок построения л.в. в многопролетных шарнирных балках?

9.Какое положение цепочки грузов на балку считается невыгодным?

10 Как найти аналитическим способом невыгодное положения цепочки сосредоточенных грузов при загружении треугольной л.в.?.

Глава 3