Преобразование импульса и энергии

, (8.14)

выражает связь между энергией и импульсом в релятивистской механике. Заметим, что величина

, (8.15)

которая является квадратом энергии покоя частицы, инвариантна относительно преобразований Лоренца, хотя релятивистский импульс и энергия меняются при переходе . Эти формулы преобразования можно получить, пользуясь формулами преобразования релятивистских скоростей. Например,

Подобным же образом получим остальные преобразования:

. (8.16)

Заметим, что величины

(8.17)

преобразуются по одним и тем же формулам, что и координаты события x, y, z, t, т.е. составляют лоренцеву группу.

Нетрудно проверить, пользуясь формулами преобразования энергии и импульса (8.16), что

, (8.15´)

которое с точностью до постоянного множителя совпадает с (8.15).

Приведем еще два полезных соотношения. Из формул релятивистской энергии и импульса следует, что

(8.18)

а с учетом (8.11) из (8.15) получаем

. (8.19)

Последнее есть связь между кинетической энергией и импульсом в релятивистской механике. В случае медленных движений частицы, когда , (8.19) дает классическую связь кинетической энергии и импульса:

, (8.20)

а в противоположном пределе - (ультрарелятивистское движение)-

. (8.21)

Импульс и энергия в системе частиц.

Полная энергия и импульс частицы определяются соотношениями

E = mc2γ,	(3)
p = γmv = vE/c2.

Полная энергия и импульс частицы зависят от системы отсчета. Масса не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Она является лоренцевым инвариантом. Полная энергия импульс и масса связаны соотношением

E2 - p2c2 = m2c4,

(4)

где E, р и m - полная энергия, импульс и масса частицы, с - скорость света в вакууме. Из соотношения (3) и (4) следует, что если энергия E и импульс p измеряются в двух различных системах движущихся друг относительно друга со скоростью v, то энергия и импульс будут иметь в этих системах различные значения. Однако величина E2 - p2c2, которая называется релятивистский инвариант, будет в этих системах одинаковой.
Полная и кинетическая энергия связаны между собой соотношением

Е = T + Е0 = Т + mc2, Т = Е - mc2,

(5)

где T - кинетическая энергия частицы, Е0 - энергия покоя частицы.
Из (4) и (5) можно получить соотношение связывающее импульс p и кинетическую энергию T частицы

p = (T2 + 2Tmc2)1/2/c.

(6)

Можно выделить два предельных случая
1. Ультрарелятивистский. Кинетическая энергия частицы много больше ее энергии покоя

T >> mc2

p = T/c или T = cp.

(7а)

2. Классический. Кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя

T << mc2

p = (2Tm)1/2 или T = p2/2m.

(7б)