Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

Рис. 4.5

Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Oz, имея две неподвижные точки А и В, под действием системы внешних сил . Реакции связей в точках А и В равны и (рис. 4.5).

Приложив к точкам системы силы инерции, применим принцип Даламбера:

(4.13)

Определим главный вектор и главный момент сил инерции точек тела. Ускорение любой точки M_k вычисляется по формуле

,

где – радиус-вектор точки M_k; и - векторы угловой скорости и углового ускорения;

;
.

Сила инерции точки M_k –

.

Главный вектор сил инерций –

.

(4.14)

Вычисляем главный момент сил инерций

,	(4.15)

где , , – центробежные и осевой моменты инерции.

Из (4.13) в проекциях на оси координат с учетом выражений (4.14) и (4.15) получаем систему уравнений для определения проекций реакций: , :

	(4.16)

Последнее уравнение системы (4.16) является дифференциальным уравнением вращательного движения тела. Из него можно определить угловое ускорение e и, проинтегрировав, найти угловую скорость w.

В оставшиеся пять уравнений входит шесть неизвестных, что не позволяет их все определить. Из третьего уравнения можно определить только сумму двух неизвестных . Для определения всех неизвестных надо закрепить тело в точках А и В так, чтобы было пять неизвестных. Например, в точке А – подпятник, в точке В – подшипник.

Полные реакции и разложим на статические и динамические составляющие:

; .

Статическими реакциями и называют части полных реакций, которые статически уравновешивают приложенные внешние силы. Уравнения для их нахождения получим из уравнений системы (4.16) при w=0 и e=0:

	(4.17)

или в векторной форме

.

Части полных реакций и , которые уравновешивают силы инерции точек тела, называют динамическими реакциями.

Уравнения для определения динамических реакций получим из уравнений (4.16) с учетом (4.17):

	(4.18)

или в векторной форме

.

Тело, имеющее неподвижную ось вращения, называют статически уравновешенным, если центр масс этого тела находится на оси вращения

Динамически уравновешенным телом называют случай обращения в нуль динамических реакций.

Динамические реакции обратятся в нуль, как следует из уравнений (4.18), если выполняются условия:

.

То есть ось вращения тела должна быть главной центральной. Такая ось называется свободной осью вращения.

При проектировании машин и механизмов надо стремиться, чтобы оси вращающихся деталей машин были свободным осями вращения.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

В аналитической механике изучается равновесие и движение механических систем. При этом используются понятия возможного перемещения точки и системы, а также обобщенных координат.

Классификация связей

Аналитически связи, налагаемые на точки механической системы, выражаются в виде уравнений связи, в которые в общем случае могут входить координаты точек, их скорости и время. В общем случае уравнение связи запишется в виде:

(3.43)

В зависимости от вида данной функции связи разделяют на:

1) геометрические и кинематические;

2) стационарные и нестационарные;

3) голономные и неголономные;

4) удерживающие и неудерживающие.

К геометрическим относят связи, в уравнения которых входят только координаты точек системы и, может быть, время:

(3.44)

Кинематическими называют связи, уравнения которых кроме координат точек системы содержат, и первые производные от этих координат по времени и, может быть время, см. выражение (3.43).

Кинематические связи могут быть интегрируемыми (путем интегрирования сводящиеся к геометрическим) и неинтегрируемыми.

Связи, в уравнения которых время явно не входит, называются стационарными. Если время входит явно в уравнение связи, то связь – нестационарная.

К голономным относятся геометрические и интегрируемые кинематические связи.

Кинематическая связь, уравнение которой не может быть проинтегрировано, называется неголономной.

Если система не может освободиться от связи (связь аналитически выражена уравнением (3.43)), то она называется удерживающей. Если же система может покинуть связь (связь аналитически выражена неравенством: ), то она называется неудерживающей.

В дальнейшем будем рассматривать механические системы с голономными, стационарными, удерживающими связями.