Тема 1.5. относительный покой жидкости

Относительный покой жидкости – равновесие жидкости в сосудах, движущихся равноускоренно по вертикали или горизонтали или вращающихся с постоянной угловой скоростью. В этом случае массовая сила (сила тяжести), действующая на жидкость, дополняется силами инерции.

Форма свободной поверхности при относительном равновесии жидкости представляет собой форму поверхностей равного давления.

Уравнения свободной поверхности:

Для вертикального движения:

z = const - горизонтальная плоскость (1.5.1)

Для горизонтального движения:

z = (а/g) x + c - наклонная плоскость (1.5.2)

а – ускорение, м/с²;

Угол наклона плоскости

a = arctg ( - а/g) ; tg a = - а/g (1.5.3)

Для вращательного движения:

Z = Z_О + (v²r² / 2g) - параболоид вращения (1.5.4)

где r - радиус точек вращения, м; v - угловая скорость, с^-1;

z_о - вертикальная координата вершины параболоида.

Повышение давления в жидкости, возникающее вследствие ее вращения, равно:

(1.5.6)

где Р_О - давление в точке с координатами Z = Z_О и r =0.

Объем параболоида вращения определяется:

V = ½ п R² H, (1.5.7)

где R- радиус основания параболоида; H – высота.

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Решение задач данной темы основывается на определении положения свободной поверхности жидкости при равноускоренном движении. Далее задачи сводятся к определению геометрических параметров сечений.

ПРИМЕРЫ

Пример 1.5.1.Топливный бак длиной L = 0,6 м, шириной В = 0,5 м и высотой Н = 0,2 м движется с ускорением а = 3,27 м/с². Определить минимальное количество топлива в баке для поступления в бензопровод, установленный в середине бака на высоте h = 10 мм от дна.

Решение. Необходимый объем топлива зависит от положения свободной поверхности при движении. Высота бензина в точке отбора должна быть не менее высоты h.По формуле (1.5.3) определим наклон свободной поверхности при равноускоренном движении:

tg a = a /g = 3,27 / 9,81 = 0,333

Находим расстояние х:

х = h / tg a = 0,01 / 0,333 = 0,03 м

Из треугольника находим высоту h₁:

h₁= [(L / 2) + x] tg a = (0,3 + 0,03) 0,333 = 0,11 м.

Определяем объем топлива, как объем треугольной призмы:

V =

Пример 1.5.3. В сосуд высотой Н =0,3 м залита жидкость до уровня h = 0,2 м. Определить, до какой скорости w можно раскрутить сосуд диаметром D = 100 мм, чтобы жидкость не выплеснулась.

Решение. Угловая скорость определяется из формулы (1.5.4):

.

Примем за начало координат центр дна сосуда, тогда координата Z = H.

Координату Z_O вершины параболоида вращения найдем из равенства объемов залитой жидкости и тела вращения: V = Vт:

Объем залитой жидкости V = h p R².Объем тела вращения состоит из объема жидкости высотой Z_O и объема жидкости высотой (Н – Z_O) за минусом объема параболоида вращения, определяемого по формуле (1.5.7), т.е:

V_Т = (Z_O p R² ) + [(Н - Z_O) p R²] - [(Н - Z_O) p R² /2]

Приравнивая правые части, получим

h p R² = (Z_O p R² ) + [(Н - Z_O) p R²] - [(Н - Z_O) p R² /2]

После сокращения на (p R²) получаем h = Z_O + Н - Z_O – [ (Н - Z_O) / 2]

Откуда Z_O = 2h – Н = 2 ^. 0,2 – 0,3 = 0,1 м

Находим угловую скорость