Вывод уравнения бернулли для струйки идеальной жидкости

Будем рассматривать установившееся течение идеальной жид­кости, находящейся под воздействием лишь одной массовой силы — силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее дви­жения.

Возьмем одну из струек, составляющих поток, и выделим сече­ниями 1 и 2 участок этой струйки произвольной длины (рис. 24). Пусть площадь первого сечения равна dS₁, скорость в нем V₁, дав­ление р₁, а высота расположения центра тяжести сечения, отсчи­танная от произвольной горизонтальной плоскости Z₁. Во втором сечении аналогично.

За бесконечно малый отрезок времени dt выделенный нами уча­сток струйки под воздействием внешних сил переместится в поло­жение 1’—2'.

Применим к этому участку струйки теорему механики о том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинети­ческой энергии этого тела. Такими силами в данном слу­чае являются силы давления, действующие нормально к по­верхности рассматриваемого участка струйки, и лишь одна из массовых сил — сила тяжести.

Подсчитаем работу сил дав­ления, силы тяжести и измене­ние кинетической энергии уча­стка струйки за сремя dt.

Работа силы давления в первом сечении будет поло­жительна, так как направле­ние силы совпадает с направ­лением перемещения, и выразится как произведение силы (p₁dS₁) на путь (V₁dt}, т. е.

Работа силы давления во втором сечении будет иметь знак ми­нус, так как направление силы прямо противоположно направле­нию перемещения, и определится выражением

Силы давления, действующие по боковой поверхности отрезка струйки, работы не произведут ввиду того, что они нормальны к этой поверхности, а следовательно, нормальны и к перемеще­ниям.

Итак, работа сил давления будет равна

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки. Веса отрезков 1—1’ и 2—2' равны меж­ду собой, т. е.

Поэтому работа силы тяжести выразится

Приращение кинетической энергии будет равно

Сложив работу сил давления с работой силы тяжести и приравняв эту сумму к приращению кинетической энергии, получим

Разделим все члены уравнения на вес. После соответствую­щих сокращений получим

Сгруппируем члены, относящиеся к первому сечению, в левой части уравнения, а относящиеся ко второму сечению—в правой части уравнения:

где соответствующие составляющие - нивелирная высота или геометрический напор; пьезометрическая высота или пьезометрический напор; скоростная высота или скоростной напор.

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для струйки идеальной несжимаемой жидкости.

Трехчлен вида

называется полным напором.

Уравнение Бернулли (4.12) записано для двух произвольно взятых сечений струйки, первого и второго, и выражает равенство полных напоров Н в этих сечениях. Так как эти сечения взяты со­вершенно произвольно, то, следовательно, и для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь то же значе­ние, т. е.

Итак,для идеальной движущейся жидкости сум­ма трех высот: нивелирной, пьезометрической и скоростной есть величина, постоянная вдоль струйки.

Из уравнения Бернулли и уравнения расхода следует, что, если площадь поперечного сечения струйки уменьшается, т. е. струйка сужается, то скорость течения жидкости увеличивается, а давление уменьшается, и наоборот, если струйка расширяет­ся, то скорость уменьшается, а давление возрастает.

Рассмотрим физический или, точнее, энергетический смысл уравнения Бернулли. Условимся называть удельной энергией жид­кости энергию, отнесенную к единице веса, т. е.

Удельная энергия имеет линейную размерность, так же как и члены уравнения Бернулли. Нетрудно показать, что члены урав­нения Бернулли являются различными формами удельной механи­ческой энергии жидкости, а именно:

z —удельная энергия положения,

p/g —удельная энергия давления движущейся жидкости,

z+ p/g — Удельная потенциальная энергия жидкости;

u²/2g – Удельная кинетическая энергия жидкости;

Н – полная удельная энергия движущейся жидкости.

Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоян­стве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости. Уравнение Бернул­ли, следовательно, выражает собой за­кон сохранения механической энергии в идеальной жидкости.

В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может превращаться в другую форму, но полная удельная энер­гия при этом, как следует из уравнения Бернулли, остается без изменения.

Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости может быть также легко получено путем интегрирования дифференци­альных уравнений движения идеальной жидкости.

ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

В потоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами х, у, z (рис. 27) и выделим у этой точки элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы. точка М была бы одной из его вершин. Ребра этого параллелепи­педа пусть будут параллельны координатным осям и соответст­венно равны dx, dy и dz (эти произвольные элементарные отрезки не следует отождествлять с проекциями элементарного перемещения dx, dy и dz).

Составим уравнения движения выделенного элемента жидкости. Будем считать, что внутри этого объема на жидкость действует результирующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны X, Y и Z. Тогда мас­совые силы, действующие на выделенный объем в направлении ко­ординатных осей, будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема.

Разность сил давления, действующих на параллелепипед, например, в направлении оси х, будет равна

Скорость движения жидко­сти в точке М обозначим че­рез u, а ее компоненты — через u_x, u_y и u_z. Тогда проекции ускорения, с которым движется выделенный объем, будут равны:

а силы, которые необходимо ввести в уравнения движения по принципу Д'Аламбера, определятся как произведения этих уско­рений на массу параллелепипеда.

Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекци­ях на координатные оси теперь запишутся в следующем виде

Разделим эти уравнения почленно на массу элемента rdxdydz и перейдем к пределу, т. е. стягивая параллелепипед к исходной точке М. Тогда в пределе получим уравнения движения жидкости, отнесенные к точке М:

Полученная система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости также носит название уравнений Эйлера.

Уравнения Эйлера в таком виде справедливы как для несжи­маемой, так и для сжимаемой жидкости, а также для случая, когда из числа массовых сил действует лишь сила тяжести, и для общего случая относительного движения жидкости. Они справедливы и для неустановившегося движения.

Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнений на соответствующие проекции элементарного перемещения, равные

и сложим уравнения. Будем иметь

Учитывая, что выражение в скобках является полным диффе­ренциалом давления, а также, что

уравнение (4. 15') можно переписать в следующем виде

пли

где U—уже силовая функция.

Интегрирование этого уравнения выполним для основного част­ного случая установившегося движения идеальной жидкости, когда на жидкость действует лишь одна массовая сила — сила тяжести.

Для этого случая, при направлении оси г вертикально вверх

Подставляя эти значения в уравнение, получим

или

Так как в случае несжимаемой жидкости v=const, то предыду­щее уравнение можно переписать в следующем виде:

Это уравнение означает, что приращение суммы трех членов, заключенных в скобку, при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока (траектории) равно нулю. Отсюда заключаем, что указанный трехчлен есть величина постоянная вдоль линии тока, а, следовательно, и вдоль элементарной струйки, т. е.

Таким образом, мы пришли к уравнению Бернулли для струй­ки идеальной жидкости.