Движение тел с переменной массой

Во многих задачах физики масса тела при движении меняется. Например, масса автомобиля для поливки улиц уменьшается за счет вытекания воды, масса ракеты или реактивного самолета уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива.

Рис. 3.1 Полет ракеты.

Выведем уравнение движения тела с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. В ракетном двигателе сила тяги создается в результате выбрасывания продуктов горения топлива в направлении противоположном скорости ракеты (рис. 3.1). Она возникает согласно третьему закону Ньютона как сила реакции, и поэтому называется реактивной. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным ею веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться со временем. На этом положении и основана теория движения ракет. Целесообразно, однако, обобщить задачу, предположив, что на ракету действуют внешние силы. Такими силами могут быть гравитационные силы, а также силы сопротивления среды, в которой движется ракета.

Пусть – масса ракеты в произвольный момент времени , а – ее скорость в тот же момент. Импульс ракеты в этот момент времени будет . Спустя время масса и скорость ракеты получат приращение и (величина ). Импульс ракеты станет равным . Импульс газов, образовавшихся за время , будет .

Приращение импульса системы за время будет равно импульсу силы , где – геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету:

.

Раскрывая скобки, можно отбросить произведение , как бесконечно малую величину. Учитывая, что , и поделив все члены последнего уравнения на , получим:

.

(3.2)

Можно воспользоваться правилом сложения скоростей в виде , где – скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда уравнение (3.2) примет вид

.

Величина представляет реактивную силу. Если направлена противоположно , то ракета ускоряется, а если совпадает с – тормозится. Переходя к пределу при , уравнение движения тела с переменной массой можно записать в виде:

.

Полученное уравнение называется уравнением Мещерского или уравнением движения тела с переменной массой.

В отличие от других транспортных средств устройство с реактивным двигателем может двигаться в космическом пространстве. Основоположником теории космических полетов является выдающийся русский ученый Циолковский (1857–1935). Он дал общие основы теории реактивного движения, разработал основные принципы и схемы реактивных летательных аппаратов, доказал необходимость использования многоступенчатой ракеты для межпланетных полетов. Идеи Циолковского успешно осуществлены при создании искусственных спутников Земли и космических кораблей.

Циолковский Константин Эдуардович (5/17.09.1857–19.09.1935)

Русский ученый и изобретатель в области аэродинамики, ракетодинамики, теории воздухоплавания, основоположник современной космонавтики. Родился в семье лесничего. Перенеся в 14-летнем возрасте скарлатину, Циолковский практически потерял слух и учился самостоятельно. В 1879 г. сдал экстерном экзамены на звание учителя. В 1880 г. Циолковский назначен учителем арифметики и геометрии в Боровское уездное училище (Калужская губ.). В это время вышли первые труды Циолковского – «Теория газов» и «Механика животного организма» (1880–1881). Он был принят в Русское физико-химическое общество.

С 1884 г. Циолковский работал над проблемами создания дирижабля и «обтекаемого» аэроплана, с 1886 г. — ракет для межпланетных полетов. Систематически занимался разработкой теории движения реактивных аппаратов и предложил несколько их схем. В 1892 г. Циолковский переехал в Калугу, где преподавал физику и математику в гимназии и епархиальном училище. В том же году вышел в свет его труд «Аэростат металлический управляемый» (о дирижабле). В 1897 г. Циолковский сконструировал первую в России аэродинамическую трубу с открытой рабочей частью.

В советское время Циолковский занимался главным образом теорией движения ракет (ракетодинамикой). В 1926–1929 гг. он разработал теорию многоступенчатого ракетостроения, решил важные задачи, связанные с движением ракет в неоднородном поле тяготения, посадкой космического аппарата на поверхность планет, лишенных атмосферы, рассмотрел влияние атмосферы на полет ракеты, выдвинул идеи о создании ракеты – искусственного спутника Земли и околоземных орбитальных станций. В 1932 г. Циолковский обосновал теорию полета реактивных самолетов в стратосфере.

Технические идеи Циолковского нашли применение в конструировании ракетно-космической техники.

Материалы взяты с сайта http://www.hronos.km.ru/biograf/ciolkov.html

Основоположником практической космонавтики является академик С.П. Королев (1906–1966). Под его руководством был создан и запущен первый в мире искусственный спутник Земли, состоялся первый в истории человечества полет человека в космос. Первым космонавтом Земли стал Ю.А. Гагарин (1934–1968).

Королев Сергей Павлович (1906–1965)

Не было за всю историю науки ученого более засекреченного, чем С.П. Королев, Главный Конструктор космических кораблей, основоположник практической космонавтики. Он стоял у ее истоков – при запуске первых спутников, полете в космос Гагарина, Титова, Валентины Терешковой – первых космонавтов.

При жизни он был известен лишь узкому кругу – высокому начальству, подчиненным, коллегам и тем, кого отправлял в межпланетные полеты. Имя его появилось в печати лишь в день смерти.

Cергей Павлович Королев родился 12 января 1907 г. (30 декабря 1906 г. по старому стилю) в Житомире в семье учителя гимназии. С 1946 г. и до конца жизни Сергей Королев был Главным конструктором баллистических ракет дальнего действия, ракетно-космических систем. В середине 1950-х гг. в КБ Королева была создана знаменитая двухступенчатая ракета, которая обеспечила достижение первой космической скорости и возможность вывода на околоземную орбиту летательных аппаратов массой в несколько тонн. Эта ракета (с ее помощью были выведены на орбиту первые три спутника) затем была модифицирована и превращена в трехступенчатую (для вывода «лунников» и полетов с человеком).

Перед стартом С.П. Королев говорит слова напутствия Ю.А. Гагарину

С 1959 г. Сергей Павлович Королев руководил программой исследований Луны. В рамках этой программы к Луне было направлено несколько космических аппаратов, в том числе аппаратов с мягкой посадкой, а 12 апреля 1961 г. осуществлен первый полет человека в космос.

При жизни Королева на его космических кораблях в космосе побывало еще десять советских космонавтов, был осуществлен выход человека в открытый космос (А. Леонов 18 марта 1965 г. на КК «Восход-2»). Под руководством Сергея Королева был создан первый космический комплекс, многие баллистические и геофизические ракеты, запущены первые в мире межконтинентальная баллистическия ракета, ракета-носитель «Восток» и ее модификации, искусственный спутник Земли, осуществлены полеты КК «Восток» и «Восход», созданы первые КА серий «Луна», «Венера», «Марс», «Зонд», ИСЗ серий «Электрон», «Молния-1» и некоторые ИСЗ серии «Космос»; разработан проект КК «Союз».

Сергей Королев воспитал многочисленные кадры ученых и инженеров. Академик АН, член президиума АН СССР (1960–1966), дважды Герой Социалистического Труда (1956, 1961), лауреат Ленинской премии (1957), был награжден Золотой медалью им. К.Э. Циолковского АН СССР (1958), 2 орденами Ленина, орденом «Знак Почета» и медалями.

Скончался Сергей Павлович Королев 14 января 1966 г., похоронен в Кремлевской стене.

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ

Рис. 3.2. К определению работы

Пусть частица под действием силы совершает перемещение по некоторой траектории из положения 1 в положение 2 (рис. 3.2). В общем случае сила в процессе движения может меняться как по модулю, так и по направлению. Пусть частица совершила элементарное перемещение , в пределах которого силу можно считать постоянной. Действие силы на перемещении характеризуют величиной, равной скалярному произведению , которую называют элементарной работой силы на перемещении :

.

(3.3)

Ее можно представить в другом виде:

,

где – угол между векторами и , – проекция вектора на направление вектора . Поскольку перемещение предполагается малым, величина называется элементарной работой в отличие от работы на конечном перемещении.

Величина – алгебраическая: в зависимости от угла (или знака проекции ) она может быть как положительной, так и отрицательной, и, в частности, равной нулю, если сила перпендикулярна перемещению .

Рассмотрим одномерный случай, когда сила действует вдоль оси и движение происходит вдоль этой оси. Тогда при смещении материальной точки на сила совершает элементарную работу . Если точка смещается из положения в положение , а сила при этом не является постоянной, то для вычисления работы необходимо весь интервал между точками и разбить на столь маленькие отрезки , чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной и равной некоторому значению (при этом неважно, в какой точке интервала берется значение ). Элементарная работа на участке равна , а полная работа при перемещении материальной точки из положения в положение определится как сумма работ на всех элементарных перемещениях:

.

Если устремить длины всех интервалов к нулю, а их количество – к бесконечности, получим точное значение работы:

.

(3.4)

Рис. 3.3. К расчету работы силы

Интеграл представляет сумму элементарных работ, которые совершаются при элементарных перемещениях, Из рис. 3.3 видно, что элементарная работа на перемещении численно равна площади заштрихованной полосы. Полная работа силы при перемещении материальной точки из в будет равна площади фигуры, ограниченной кривой , вертикальными прямыми, проходящими через точки и , и осью . В этом заключается геометрический смысл интеграла, стоящего в правой части равенства (3.4).

Поскольку работа получается суммированием по многим состояниям системы, то в общем случае работа зависит от того, как меняется состояние. Иными словами работа, совершаемая при перемещении частицы, в общем случае зависит от формы ее траектории.

Если на частицу действует не одна, а несколько сил, то результирующая сила будет равна геометрической сумме всех действующих сил , а работа этой силы на элементарном перемещении определится соотношением . Следовательно, . Таким образом, элементарная работа результирующей нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил. Очевидно, что это же утверждение справедливо и для работ на конечных перемещениях: .

Единицей работы в системе СИ является джоуль. Джоуль – работа силы в один ньютон на перемещении в один метр при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения: .

Для характеристики быстроты, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью. Мощность – это работа, совершаемая за единицу времени:

.

В пределе при мощность можно записать следующим образом:

.

Мощность измеряется в ваттах: 1 Вт = 1 .

ЭНЕРГИЯ

Наблюдения показывают, что при определенных условиях любым телом может быть совершена работа. Например, сила упругости, действующая со стороны сжатой или растянутой пружины на прикрепленное к ней тело, перемещает его и при этом совершает механическую работу. Может совершать работу и любое движущееся тело. Сталкиваясь с другим телом, оно действует на него силой и может вызвать перемещение этого тела или его деформацию. При этом тоже совершается механическая работа. Про тела, которые могут совершать работу, говорят, что они обладают энергией.

Совершая механическую работу, тело или система тел переходят из одного состояния в другое. При этом их энергия уменьшается. Деформированная пружина распрямляется, движущийся груз останавливается, то есть при совершении работы энергия постепенно расходуется. Для того чтобы тело или система тел вновь приобрели способность совершать энергию, необходимо изменить их состояние: деформировать пружину, поднять тело вверх, то есть совершить над системой положительную работу.