Квантование энергии частицы в потенциальной яме

Лекции 5,6

Квантование энергии

В соответствие со своим смыслом ПСИ-функция должна быть: однозначной, непрерывной и конечной (за исключением, может быть, особых точек). Кроме того, она должна иметь непрерывную и конечную производную. Совокупность этих требований носит название: стандартные условия. В уравнении Шредингера входит в качестве параметра полная энергия частицы . В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение вида: имеют решения, удовлетворяющие не любым параметрам , а лишь при избранных значениях.

Эти значения называются собственными значениями соответствующей величины (в нашем случае - ). Решения, соответствующие собственным значениям , называются собственными функциями.

Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если эта совокупность образует дискретную последовательность, то спектр называется дискретным. В противном случае - сплошной, непрерывный. Мы ограничимся задачами, имеющими дискретный спектр собственных значений.

В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать: ; . Т.е., квантование энергии получается из основных положений квантовой механики без каких-либо дополнительных предположений.

Нахождение и весьма трудная математическая задача. Рассмотрим простейшие примеры.

Квантование энергии частицы в потенциальной яме

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.

Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси .

Пусть движение частицы ограничено непроницаемыми для частицы стенками: и . Потенциальная энергия, на рис.26, она равна нулю при и обращается в бесконечность при <0 и .

Возьмем уравнение Шредингера в виде:

.

Или в нашем одномерном случае:

(2.16)

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что должна равняться нулю и на границах ямы, т.е.

(2.17)

Это и есть условие, которому должны удовлетворять решения уравнения (2.16). В области, где не равна нулю тождественно (2.16) имеет вид:

(2.18)

(В этой области U=0). Введем обозначение: .Тогда придем к уравнению, хорошо известному в теории колебаний:

.

Решение этого уравнения имеет вид:

Из граничных условий получим:

1) , откуда

2) , что возможно, если ( ,т.к. при частица нигде не находится).

Отсюда можно записать; , и тогда и, наконец:

Спектр энергии оказался дискретным.

Оценим расстояние между соседними уровнями для различных значений m и n:

.

Если взять массу порядка массы молекулы (10^{-26 кг), а =0,01 м (молекулы газа в сосуде): Столь густо расположенные уровни воспринимаются как сплошной спектр энергии. Так что хотя квантование энергии имеет место, но на характере движения молекулы сказываться не будет.}

Если же взять электрон (m =10^{-30 кг) в атоме ( =10-10 м), то:}

,

следовательно, дискретность энергетических уровней будет весьма заметной.

Если мы подставим в решение: значение из выражения ; при , то

,

где - собственные функции.

Для нахождения амплитуды воспользуемся условием нормировки:

На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в ноль. Поэтому значение интеграла можно получить умножив среднее значение равное, как известно, , на длину промежутка . Следовательно:

.

Тогда: . Таким образом, собственные функции имеют вид:

Графики собственных функций изображены на рис.27 (А). На рис.27 (Б) дана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равная . Анализ полученных зависимостей приводит к выводу, что в данном случае наблюдается ряд особенностей, связанных с квантовой природой рассматриваемого объекта.

Из вида графиков , например, следует, что в состоянии с n=2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение, очевидно, несовместимо с представлениями о траекториях. (Согласно же классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны).

Принцип соответствия

Таким ообразом, энергия частицы в потенциальной яме: . Рассмотрим тогда влияние квантового числа n на характер расположения энергетических уровней в потенциальной яме. Для этого сопоставим величину:

с энергией электрона на уровне . Найдем отношение :

отсюда, при увеличении , следовательно . Величина очень мала по сравнению с , т.е. происходит сближение энергетических уровней. При больших квантовых числах квантование энергии дает результаты, близкие к классическим. Таким ообразом, можно сформулировать принцип соответствия (Бор, 1923 г.): при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.

Формально переход осуществляется, если считать .

Туннельный эффект

Рассматривая частицу в потенциальной яме, мы считали, что на границе ее ПСИ-функция обращается в ноль. Движение электрона с постоянной скоростью описывается плоской волной де Бройля. На границе где происходит скачкообразное изменение потенциальной энергии, эта волна должна вести себя аналогично электромагнитным волнам на границе раздела двух сред с различными показателями преломления. Как известно, плоская волна на такой границе частично отражается, а частично проходит через границу, что имеет место даже при полном внутреннем отражении. Волна де Бройля на границе ямы также испытывает отражение, но частично проходит в область вне ямы. Этот результат отличается от выводов классической физики, т.е. имеется определенная вероятность обнаружить электрон за пределами потенциальной ямы. Частица, подчиняющаяся законам классической физики, может выйти за пределы потенциальной ямы лишь при условии, что ее полная энергия превышает глубину ямы. Стенки ямы являются для нее потенциальным барьером. Возникновение барьера можно показать на следующих простых примерах.

Пусть положительно заряженная частица движется по направлению к также положительно заряженной области, рис.28 (а). Когда частица подходит достаточно близко к этой области начинается кулоновское отталкивание ее, т.е. возникает энергетический барьер, для преодоления которого необходимо увеличить энергию частицы, т.е. совершить некоторую работу.

Вторым примером рис.28 (б) является выход электрона из металла. В результате кулоновского притяжения для электрона возникает энергетический барьер, который необходимо преодолеть, совершив работу выхода. При этом оказывается, что выход электрона наблюдается при его энергии, меньшей, чем можно было бы ожидать, исходя из соображений кулоновского взаимодействия.

В квантовой механике существует возможность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер - туннельный эффект. Собственно название этого эффекта происходит из следующих соображений:

Пусть классический шарик находится в потенциальной яме, рис.29, если увеличивать его энергию, то он поднимется на некоторую высоту приобретенная энергия E меньше необходимой для прохождения над барьером . Однако, если мысленно ²прорыть туннель" в барьере, то шарик ²выйдет² за него. Т.е., название эффекта является данью классическим представлениям. Для описания туннельного эффекта используется понятие прозрачности- D потенциального барьера. Если по аналогии с оптикой для волн де Бройля подсчитать интенсивность падающей на него волны и интенсивность волны, прошедшей через барьер , прозрачностью будет называться величина: . Прозрачность можно рассматривать как вероятность прохождения волн де Бройля через потенциальный барьер. По аналогии с оптикой можно ввести коэффициент отражения R следующим образом: .

Рассмотрим прямоугольный барьер с высотой U и шириной , рис.30. Для нахождения прозрачности необходимо найти решение уже известного нам уравнения Шредингера в виде:

для областей 1 и 3, т.к. в этих областях U=0. Для области 2 уравнение Шредингера имеет вид:

.

Решение данных уравнений рассматривается в квантовой механике. Мы ограничимся анализом получаемого в результате решения выражения для коэффициента прозрачности:

(2.19)

Из вида (2.19) следует, что прозрачность зависит от массы частицы, ширины барьера и (U-E), чем шире барьер, тем меньше вероятность его прохождения частицей. Для потенциального барьера произвольной формы, рис.31, выражение для определения коэффициента прозрачности принимает вид:

Здесь U = U(x). С классической точки зрения ппрохождение частицы сквозь потенциальный барьер противоречит закону сохранения энергии. Дело в том, что если классическая частица находилась бы в какой-либо точке барьера, то ее полная энергия оказалась бы меньше ее потенциальной энергии, что является абсурдным. Действительно, если E<U, то в области, где U(x)>E кинетическая энергия отрицательна, поскольку:

а и, наконец: .

С классической точки зрения эта область недоступна для частицы, поскольку бессмысленно говорить о мнимом импульсе. Квантовая механика приводит к возможности обнаружить частицу в этой запрещенной области (парадокс туннельного эффекта). На самом деле парадокса никакого нет. Туннельный эффект - чисто квантовое явление. Если перейти к классической теории, положив, как принято в этом случае h = 0, то согласно (2.19) D стремится к нулю.

Описывая туннельный эффект в квантовой механике, мы встречаемся с неожиданной с точки зрения классической физики прозрачностью, связанной с самой возможностью представления полной энергии в виде суммы ее кинетической и потенциальной энергий. В классической механике это не вызывает сомнений и предполагает, что определенно известны с любой точностью кинетическая и потенциальная энергия. Однако из соотношения неопределенностей определенные значения координаты и импульса невозможны. И, следовательно, в квантовой механике само представление полной энергии в виде суммы точно определенных частей - кинетической и потенциальной энергий неправомерно. Поэтому и не существует никакого парадокса.

Если мы зафиксируем частицу в определенной области , измеряя ее координату, т.е. определим с достаточной точностью , то при этом привносится неопределенность в ее значение импульса: , следовательно, нельзя говорить о точном значении кинетической энергии равной . Таким образом, нельзя будет утверждать, что после того, как фиксировано положение частицы, ее полная энергия равна E. Изменение кинетической энергии:

может превысить ту энергию (U₀ -E), которой не достает частице, находящейся внутри потенциальной ямы, для того, чтобы она могла "классическим образом" пройти над барьером.

Туннельный эффект может играть роль в тех случаях, когда не слишком мал. Это условие осуществляется когда линейные размеры потенциального барьера соизмеримы с атомными.

При для электрона в атоме , при . При тех же условиях для молекулы в пробирке , т.е. в макроскопической области: .

С увеличением массы частицы и разности (U₀ - E) прозрачность увеличивается.

Экспериментально наличие туннельного эффекта подтверждается явлением холодной эмиссии электронов из металла. Вырывание электронов из металла происходит при напряжении электрического поля в сотни раз меньшей, чем необходимо с классической точки зрения. Действие электрического поля приводит к тому, что потенциальный барьер на границе металл-вакуум будет узким и наблюдается туннельный эффект.