Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл. Мощность. Кинетическая энергия механической системы и ее связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе
Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.
Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.
Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила 
, которая составляет некоторый угол 
с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению силы 
на перемещение точки приложения силы и косинус угла между векторами силы и перемещения:
. (3.3.1)
В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, в этом случае формулой (3.3.1.) пользоваться нельзя. Однако, если рассмотреть элементарное перемещение 
, то силу можно считать постоянной, а движение точки ее приложения - прямолинейным.
Элементарной работойсилы на перемещении называется скалярная величина
, (3.3.2)
где - угол между векторами и ; 
- элементарный путь (рис. 3.3).
Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу
(3.3.3)
Из формулы (3.3.1.) следует, что при 
работа силы положительна, если 
, то работа силы отрицательна. При 
(сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.
Единица работы - джоуль (Дж): 1 Дж - работа, совершаемая постоянной силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж=1 
).
Работа, совершаемая в единицу времени - мощность:
. (3.3.4)
За время dt сила совершает работу 
, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени: 
, т.е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы.
Единица мощности - ватт(Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1с совершается работа в 1 Дж (1 Вт=1 Дж/с).
Кинетическая энергиямеханической системы - это энергия механического движения этой системы.
Сила , действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до 
, идет на увеличение кинетической энергии d 
тела, т.е.
dA=d .
Используя второй закон Ньютона 
и умножая обе части равенства на перемещение , получим:
.
Так как 
, то 
,
Откуда: 
.
Таким образом, тело массой m, движущееся со скоростью v, обладает кинетической энергией
. (3.3.5)
Из формулы (3.3.5) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.
При выводе формулы (3.3.5) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.
Поле как форма материи, осуществляющая взаимодействие между частицами вещества. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей на материальную точку.
Потенциальная энергия– это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, - консервативными.Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной; ее примером является сила трения.
Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией 
. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:
dA = - d . (3.4.1.)
Работа dA выражается как скалярное произведение силы на перемещение и выражение (3.4.1.) можно записать в виде
. (3.4.2.)
Следовательно, если известна функция ( 
), то из формулы (3.4.2.) можно найти силу по модулю и направлению.
Потенциальная энергия может быть определена исходя их (3.4.2.) как
,
где С - постоянная интегрирования, т.е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в каком-то определенном положении считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня.
Для консервативных сил
, 
, 
,
или в векторном виде
, (3.4.3.)
где
(3.4.4.)
( 
- единичные векторы координатных осей). Вектор, определяемый выражением (3.4.4.), называется градиентом скалярной функции 
.
Для него наряду с обозначением grad применяется также обозначение 
. 
("набла") означает символический вектор, называемый набла-оператором:
. (3.4.5.)
Конкретный вид функции зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна
, (3.4.6.)
где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого 
=0. Выражение (3.4.6.) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.
Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина 
),
. (3.4.7)
Найдем потенциальную энергию пружины упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:
, (3.4.8)
где 
- проекция силы упругости на ось х; k-коэффициент упругости (для пружины - жесткость), а знак минус указывает, что направлена в сторону, противоположную деформации х.
По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположна ей по направлена, т.е.
.
Элементарная работа dA, совершаемая силой 
при бесконечно малой деформации dx, равна
,
а полная работа
идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела
.
Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.
Полная механическая энергия системы -энергия механического движения и взаимодействия:
,
т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.