Теорема об изменении кинетического момента

Кинетический момент точки и механической системы

Рис. 3.14

Одной из динамических характеристик движения материальной точки и механической системы является кинетический момент или момент количества движения.

Для материальной точки кинетическим моментом относительно какого–либо центра О называют момент количества движения точки относительно этого центра (рис. 3.14),

Кинетическим моментом материальной точки относительно оси называется проекция на эту ось кинетического момента точки относительно любого центра на этой оси:

Кинетическим моментом механической системы относительно центра О называется геометрическая сумма кинетических моментов всех точек системы относительно того же центра (рис. 3.15):

(3.20)

Кинетический момент приложен к точке О, относительно которой он вычисляется.

Если спроецировать (3.20) на оси декартовой системы координат, то получим проекции кинетического момента на эти оси, или кинетические моменты относительно осей координат:

(3.21)

Определим кинетический момент тела относительно его неподвижной оси вращения z (рис. 3.16).

Согласно формулам (3.21), имеем

Но при вращении тела с угловой скоростью w скорость причем количество движения точки перпендикулярно отрезку d_k и лежит в плоскости перпендикулярной оси вращения Oz, следовательно,

Рис. 3.15

Рис. 3.16

Для всего тела:

где J_z – момент инерции относительно оси вращения.

Следовательно, кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно данной оси на угловую скорость тела.

2. Теорема об изменении кинетического момента
механической системы

Кинетический момент системы относительно неподвижного центра O (рис. 3.15)

Возьмем от левой и правой части этого равенства производную по времени:

(3.22)

Учтем, что тогда выражение (3.22) примет вид

Или, с учетом того, что

– сумма моментов внешних сил относительно центра O, окончательно имеем:

(3.23)

Равенство (3.23) выражает теорему об изменении кинетического момента.

Теорема об изменении кинетического момента. Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра.

Спроектировав равенство (3.23) на неподвижные оси декартовых координат, получим запись теоремы в проекциях на эти оси:

Из (3.23) следует, что если главный момент внешних сил относительно какого-либо неподвижного центра равен нулю, то кинетический момент относительно этого центра остается постоянным, т.е. если

(3.24)

Если же сумма моментов внешних сил системы относительно какой–либо неподвижной оси равна нулю, то соответствующая проекция кинетического момента остается постоянной,

(3.25)

Утверждения (3.24) и (3.25) представляют собой закон сохранения кинетического момента системы.

Получим теорему об изменении кинетического момента системы, выбрав в качестве точки при вычислении кинетического момента точку A, движущуюся относительно инерциальной системы отсчета со скоростью

Кинетический момент системы относительно точки A (рис. 3.17)

Рис. 3.17

так как то

Учитывая, что где – скорость центра масс системы, получаем

Вычислим производную по времени от кинетического момента

В полученном выражении:

Тогда

Объединяя второе и третье слагаемое, и учитывая, что

окончательно получаем

Если точка совпадает с центром масс системы C, то и теорема принимает вид

т.е. она имеет ту же форму, что и для неподвижной точки О.

3. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Az (рис. 3.18) под действием системы внешних сил Запишем уравнение теоремы об изменении кинетического момента системы в проекции на ось вращения:

Рис. 3.18

Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:

где J_z – постоянный момент инерции относительно оси вращения; w – угловая скорость.

Учитывая это, получаем:

Если ввести угол поворота тела j, то, учитывая равенство имеем

(3.26)

Выражение (3.26) есть дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

4. Теорема об изменении кинетического момента системы
в относительном движении по отношению к центру масс

Для исследования механической системы выберем неподвижную систему координат Ox₁y₁z₁ и подвижную Cxyz с началом в центре масс C, движущуюся поступательно (рис. 3.19).

Из векторного треугольника:

Рис. 3.19

Дифференцируя это равенство по времени, получаем

или

где – абсолютная скорость точки M_k, - абсолютная скорость центра масс С, - относительная скорость точки M_k, т.к.

Кинетический момент относительно точки О

Подставляя значения и , получим

В этом выражении: ­– масса системы; ; – кинетический момент системы относительно центра масс для относительного движения в системе координат Сxyz.

Кинетический момент принимает вид

Теорема об изменении кинетического момента относительно точки О имеет вид

Подставим значения и получим

Преобразуем это выражение с учетом, что

или

Эта формула выражает теорему об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс. Она формулируется так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой.