Числовые характеристики н.с.в: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Начальные и центральные моменты.

Математическим ожиданием НСВ X с плотностью распределения f(x) называется интеграл:

M[X] = . (5.2)

Здесь предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует интеграл

.

В противном случае говорят, что математическое ожидание случайной величины X не существует.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине:

M[C] = C.

Действительно, постоянную С можно рассматривать как ДСВ, которая может принимать только одно значение C с вероятностью 1; поэтому M[C]=C×1=C.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M[CX] = C M[X]

Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M[X+Y] = M[X] + M[Y].

Свойства 2 и 3 следуют из соответствующих свойств интеграла или ряда. Здесь только отметим, что под суммой двух случайных величин X и Y понимается случайная величина X+Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным значением Y; вероятности возможных значений X+Y для независимых величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых, для зависимых величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность другого (см. теорему об умножении вероятностей).

Свойство 4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M[XY] = M[X]×M[Y].

Свойство 4 также следует из соответствующих свойств интеграла или ряда. Здесь только отметим, что под произведением двух независимых случайных величин X и Y понимается случайная величина XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X с каждым возможным значением Y; вероятности возможных значений XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей.

Разность X–M[X] называется отклонением случайной величины X от ее математического ожидания. Эта разность также есть случайная величина.

Свойство 5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

M[X–M[X]] = 0.

Действительно, используя свойства математического ожидания и принимая во внимание, что M[X] – постоянная величина, получим

M[X–M[X]] = M[X]– M[M[X]] = M[X]– M[X] = 0.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

дисперсия НСВ

.

Случайная величина и ее математическое ожидание имеют одну и ту же размерность, но дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.недостатка можно избежать если воспользоваться величиной, равной квадратному корню из дисперсии:

.

Эта случайная величина называется средним квадратичным отклонением случайной величиной.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины X^k:

.

В частности,

Центральным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание величины [X–M(X)]^k:

.

В частности,

Воспользовавшись определениями и свойствами математического ожидания и дисперсии, можно получить, что

,

,

.

Моменты более высоких порядков применяются редко.