Методы расчета плит лежащих на упругом полупространстве

Н.М.Герсеванову стало очевидно, что для плитных фундаментов пренебрежение распределительной способностью основания в модели Винклера приводит не только к количественным, но и качественным отличиям результатов расчета по сравнению скажем, с моделью основания в виде однородного упругого полупространства (УПП), и поэтому он инициировал и возглавил в ВИОС (НИИОСП) разработку методов расчета плит на УПП. Результаты этой работы сведены в сборник [17]. Так, в статье Н.М.Герсеванова и Я.А.Мачерета о нагруженной сосредоточенной силой бесконечно длинной балке на «упругой почве» под балкой авторы понимали балочную плиту, т.е. бесконечную и однородную в одном направлении плиту, работающую в условиях плоской деформации, а под сосредоточенной силой, соответственно, — нагрузку, распределенную с постоянной интенсивностью вдоль прямой линии того же направления. Н.М.Герсеванов и Я.А.Мачерет решают плоскую задачу теории упругости для полуплоскости, используя оригинальное представление напряжений в виде функций комплексного переменного, полученное ранее Н.М.Герсевановым. В качестве граничного условия (помимо отсутствия касательных напряжений) используется уравнение изгиба балки, связывающее перемещение границы с контактными нормальными напряжениями. Решение ищется методом функциональных уравнений и сводится к решению обыкновенного линейного дифференциального уравнения 3-го порядка. При этом очень эффективно используется герсевановское представление обобщенной

δ-функции в виде предела аналитической функции [18]. Достаточно технически сложные построения позволяют представить решение в аналитической форме, доказать его корректность и выписать в конечном виде некоторые ключевые параметры, например изгибающий момент в плите в месте приложения нагрузки. Б.П.Павлов [17] решает ту же задачу несколько иными методами. У него плита задается не уравнением изгиба, а как упругая полоса конечной толщины. Используется стандартное представление решения плоской задачи теории упругости Колосова-Мусхелишвили. Задача сводится к сингулярному интегральному уравнению относительно неизвестной функции распределения контактных напряжений, которое решается методом коллокаций с использованием численного интегрирования. Из-за крайне ограниченных в то время возможностей решения систем линейных уравнений результаты получились достаточно приближенными, но качественно верными.

В гипотезе упругого полупространства распределительная способность преувеличена. Модуль деформации является характеристикой, представляющей одновременно как упругие, так и остаточные деформации. При многократном приложении нагрузки остаточные деформации исчезают, модуль общей деформации E₀ переходит в модуль упругости E, значительно больший, чем E₀. При ширине фундамента примерно от 70 см до 7 м значение модуля деформации меняется незначительно. При превышении ширины 7 м модуль деформации заметно возрастает.

Между расчетными значениями модуля деформации E₀ и коэффициентом постели, исходя из приравнивания осадок, вычисленных по той и другой гипотезе, устанавливается связь:

(1.1.19).

Значение k₀ определяется по рис. 1.1.2 в зависимости от отношения сторон прямоугольного фундамента α, его опорной площади A и коэффициента Пуассона грунта ν₀, принимаемого для песков ν₀= 0.3, для суглинков и супесей ν₀ = 0.35, для глин ν₀= 0.4.

Рис.1.4. Зависимость коэффициента k₀ от отношения сторон прямоугольного фундамента α

Осадки жесткого прямоугольного фундамента на однородном основании определяются по формуле:

(1.1.20)

где P – суммарная центрированная нагрузка на фундамент.

Осадки жесткой плиты лишь немного меньше (на 7%) средних осадок гибкой плиты при равномерной нагрузке.

Расчеты по обеим гипотезам, даже при использовании формулы (1.1.21), дают, как правило, различные результаты в отношении изгибающих моментов в конструкции и ее изгиба. Только для узких балок при α > 10 можно подобрать отличное от определяемого формулой (1.1.21) значение коэффициента постели, при котором результаты расчета будут близки. Однако при равномерной нагрузке или при нагрузке, приближающейся к ней, получить близкие результаты расчета при любом соотношении между E₀ и kневозможно. Формула соотношения между E₀ и k_s для узких балок шириной B имеет вид:

(1.1.22).

Гибкие фундаменты в настоящее время рассчитываются преимущественно по гипотезе упругого полупространства. Этот расчет при фундаментах большой опорной площади, в десятки или сотни квадратных метров, дает, однако, преувеличенное значение осадки, изгиба и изгибающих моментов, так как гипотеза игнорирует уплотнение грунта с глубиной, вызванного действием его собственного веса. Кроме того, при больших опорных площадях грунт под фундаментом сжимается в основном без возможности бокового расширения, что не учитывается при опытном определении модуля деформации штампом.

Чтобы приблизить расчетные условия к действительным, при больших опорных площадях используют схему, согласно которой основание представляют собой сжимаемый слой, подстилаемый несжимаемым основанием.

1.7. Напряженное состояние неоднородного грунтового массива

В строительной практике часто приходится встречать грунты, неоднородные по механическим свойствам. Даже при постоянном гранулометрическом составе глубинные слои грунта имеют больший модуль деформации, чем поверхностные, в результате уплотнения весом вышележащих слоев и развития цементационных связей.

Часто встречаются неоднородные напластования – грунты, подстилаемые скалой или слоем мерзлого грунта, глинистые грунты с песчаными прослойками, мерзлый грунт, подстилаемый слоем талого грунта и т.п.

Наряду с неоднородностью грунтовых толщ, на распределение напряжений может влиять анизотропность грунта (неоднородность механических свойств грунта по разным направлениям). К таким грунтам относятся торфяные залежи, мерзлые грунты с ледяными прослойками, лессы, солонцеватые грунты со столбчатой структурой, ленточные глины и т.п. Рассмотрим некоторые решения для этих случаев.

Грунт с модулем деформации, изменяющимся по глубине. Для линейно-деформируемого бесконечного полупространства, модуль которого закономерно изменяется с глубиной, при нагрузке от сосредоточенной силы применимы формулы О.К.Фрелиха:

;

;

;

где m = 1+ 1/n– коэффициент концентрации напряжений; n – коэффициент Пуассона.

Чем больше коэффициент концентрации напряжений, тем быстрее происходит затухание напряжений по мере удаления в стороны от линии действия силы.

Анизотропные грунты. В грунтовых напластованиях, модули деформации которых в горизонтальном и вертикальном направлениях различны и могут быть обозначены соответственно Е₁ и Е₂, для определения напряжений при действии линейной нагрузки можно пользоваться формулами К.Вольфа:

;

;

,

где q – нагрузка на единицу длины загруженной линии; R – расстояние от загруженной линии до рассматриваемой точки ; .

Грунты, подстилаемые жестким слоем. Вопросу о распределении напряжений в слое грунта ограниченной толщины, залегающем на жестком несжимаемом основании, посвящено большое число работ таких ученых как К.Е.Егоров, О.Я.Шехтер, М.Н.Горбунов-Посадов и др.

Близкое расположение жесткого слоя к поверхности грунта вызывает увеличение напряжений по оси действия нагрузки, т.е. происходит концентрация напряжений. Характерно, что при малых глубинах залегания жесткого слоя напряжения в грунте превышают удельное давление на штамп.

М.Н.Горбуновым-Посадовым рассчитаны относительные контактные давления на поверхности (кровле) подстилающего жесткого слоя в зависимости от относительной глубины и отношения сторон подошвы штампа.

Многослойные системы. Распределение напряжений в многослойных системах имеет большое значение для расчета толщины дорожных одежд, состоящих из нескольких слоев, прочность которых уменьшается с глубиной.

В связи со сложностью и малой изученностью задачи о распределении напряжений в слоистых системах до сих пор большое практическое значение имеет метод эквивалентного слоя, разработанный Г.И.Покровским в 1936 г., который дает возможность при определении напряжений привести любую многослойную систему к однослойной.

Идея метода заключается в том, что давление, передающееся от силы на подстилающий грунт через две плиты разной толщины и из разных материалов, будет одинаково в том случае, если равны их жесткости, т.е.

.

Подставив сюда моменты инерции , получим

.

Следовательно, если давление на грунтовый массив передается через слой, состоящий из более жесткого материала толщиной h_м, то этот слой можно мысленно заменить эквивалентным слоем самого массива грунта толщиной

.

Таким образом, при передаче давления на грунт через уложенный поверх него слой более жесткого материала для определения давления в подстилающем грунте верхний слой может быть заменен фиктивным эквивалентным слоем грунта такой толщины, чтобы напряжения на уровне поверхности грунтового основания оставались одинаковыми.

Для дорожных одежд, работающих в стадии медленного накопления пластических деформаций, Н.Н.Иванов предложил на основании опытных данных использовать уравнение эквивалентного слоя с изменением знаком радикала и характеризовать свойства конструктивных слоев модулем деформации, а не модулем упругости:

,

где Е_од и Е_гр – модули деформации дорожной одежды и подстилающего ее грунта; Н – толщина дорожной одежды.

2. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ