Построение вероятностной математической модели случайного явления

Лекция № 1

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в массовых случайных явлениях.

Случайное явление -это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (испытания, эксперимента) протекает каждый раз несколько по-иному.

Примеры случайных явлений:

1. Одно и то же тело несколько раз взвешивается на весах, самых точных (аналитических). Результаты повторных испытаний - взвешиваний - несколько отличаются друг от друга. Это происходит за счет влияния многих факторов, как-то: положение тела и разновесок на чашках весов, вибрация аппаратуры, смещение головы и глаза наблюдателя и т.п.

2. Производится испытание изделия, например, реле на длительность безотказной работы. Результат испытания изменяется, не остается постоянным. Это обусловлено многими факторами, например, микродефекты в металле, разные температурные условия и т.д.

Закономерности случайных явлений могут проявляться только при их многократном наблюдении. Изучению поддаются только такие случайные явления, которые можно наблюдать много, практически неограниченное число раз. Такие случайные явления называются массовыми.

Результаты отдельных наблюдений случайных явлений непредсказуемы, но при многократных наблюдениях выявляются определенные закономерности. Эти закономерности и являются предметом изучения теории вероятностей(ТВ).

Возникновение теории вероятностей как науки относится к середине 17 века и связано с именами Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665), Гюйгенса (1629-1695). Истинная история теории вероятностей начинается с работ Бернулли (1654-1705) и Муавра (1667-1754).

В 19 веке большой вклад в развитие теории и практики внесли Лаплас (1749-1827), Пуассон (1781-1840) и Гаусс (1777-1855). Следующий период в развитии теории вероятностей связан с именами Чебышева П.Л. (1821-1894), Маркова А.А. (1856-1922), Ляпунова А.М. (1857-1918).

Современный период развития связан с именами Колмогорова (1903-1987), Бернштейна (1880-1968), Мизеса (1883-1953) и Бореля (1871-1956). Теория вероятностей является мощным инструментом исследования. Находит большое число самых разнообразных применений в различных областях науки и инженерной практики.

Случайные события

Наряду с пространством элементарных событий важнейшим понятием теории вероятности является понятие случайного события.Как известно, событие - факт, регистрируемый в результате опыта. Этот факт может иметь место при наступлении одного из исходов, обладающих определенными свойствами. Данные исходы образуют подмножество в W. Можно сказать, что случайному событию A соответствует некоторое подмножество пространства элементарных событий W. Элементы этого подмножества обладают определенными свойствами, и реализация каждого из них приводит к наступлению события A. Подмножество обозначают той же буквой, что и A. Таким образом, случайное событие можно определить, используя понятие пространства элементарных событий следующим образом:

Случайное событие А- подмножество А в пространстве элементарных событий. Подмножество A может содержать один исход, ни одного исхода, счетное, несчетное число исходов, всё пространство элементарных событий.

Примеры случайных событий:

· Подбрасывается игральная кость.

Событие А={выпадение четной грани}, А={2,4,6,}.

Событие B={выпадение ‘6’}, B={6}.

· Измеряется число космических частиц, падающих на площадку. Событие

А={число частиц не превышает N},A={1,2,...N}.

· Производится стрельба по мишени. Событие А={попадание в десятку},

,

где R радиус центра мишени. W

Классификация событий

1.Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном опыте. Невозможному событию соответствует пустое множество. обозначение: Æ.

Пример: Æ= {выпадение ‘7’} при подбрасывании одной игральной кости.

2. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта (не может не произойти). Достоверному событию соответствует все пространство элементарных событий. Обозначение: W.

Пример: W={выпадение не более, чем ‘6’} при подбрасывании одной игральной кости.

3. События А₁, А₂,..., А_n называются несовместными, если в данном опыте никакие два из них не могут произойти вместе.

Пример: А₁ ={выпадение ‘6’}, А₂={выпадение нечетной грани}. А₁и А₂ несовместные события в опыте по подбрасыванию одной игральной кости.

4. Событие B называется подсобытиемили частью событияA,если при проявлении события B обязательно происходит событие A.Обозначение: BÌA.

Пример: Подбрасывается игральная кость. A={выпадение четной грани}; B={выпадение‘6’}.

Говорят также, что событие B влечет за собой событие A.

5. События A и B называются эквивалентными, если они могут появиться и не появиться только вместе. Обозначение: A=B. В этом случае AÌB и ВÌА.

6. Событием, противоположным (дополнительным к) событию A называется событие, заключающееся в непоявлении события A. Обозначение: .

Пример: A={выпадение четной грани}, ={выпадение нечетной грани}.Очевидно =А

7. События А₁, А₂,..., А_n образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно происходит хотя бы одно из них .

Замечание Элементарные события образуют полную группу несовместных событий.

Действия над событиями

1.Объединениемили суммойсобытий A и Bназывается событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Обозначение: С=АÈВ; C=A+B - для несовместных событий А и В. Объединение последовательности событий {A_i}, - появление хотя бы одного из них. Обозначение: C= ; C= - для несовместных событий.

2. Пересечением или произведениемсобытий A и B называется событие C, состоящее в появлении и события A и события B. Обозначение: C=AÇB; или C=AB. Произведение последовательности событий A_i , - это событие, состоящее в появлении всех n событий. Обозначение: C= .

Замечание: Если A и B несовместные события, то C=AÇB=Æ.

3.Разностьюсобытий A и B называется событие C, состоящее в появлении события A и непоявлении события B. Обозначение: C=A-B=A/B. Очевидно, что A-B=A .

Лекция № 2

Вероятность и её свойства.

Любому случайному событию в данном опыте можно поставить в соответствие числовую характеристику, определяющую степень возможности появления этого события. Она называется вероятностью. Понятие вероятности является одним из основных понятий при построении вероятностной модели случайного явления. Используя введенное ранее понятие «пространство элементарных событий», дадим современное определение вероятности, базирующееся на аксиоматике Колмогорова.

Пусть задано некоторое пространство элементарных событий W и некоторая система E множеств A,которые являются событиями: AÎW.

С помощью операций объединения: «È», пересечения: «Ç» и разности: «\» можно из элементовE построить новую систему множеств, которые также являются событиями. Присоединяя к этим событиям достоверное W и невозможное Æ, получаем систему множеств E, которая является алгеброй, т.е. такой системой подмножеств множества W, что

1) WÎE ,

2) Если АÎE, то ÎE,

3) Если АÎE и ВÎE, то множества AÈB, AÇB, A\B также принадлежат E.

Обобщение на n событий: если A_iÎE, i=1,...,n, то E и ÎE.

Таким образом, алгебра – класс множеств, замкнутый относительно конечного числа операций дополнения, объединения и пересечения, а s-алгебра – класс множеств, замкнутый относительно счетного числа этих операций.

Система F множеств А называется s-алгеброй (или борелевским полем событий), если

1) WÎF ;

2) Если АÎF, то ÎF;

3а) Если A_iÎF,то и F и ÎF.

Замечания:

1. В условиях 3) и 3а) достаточно одного утверждения, другое можно получить на основе условия 2) и принципа двойственности.

2. Замкнутость классов E и F позволяет производить соответствующие действия над событиями (множествами), оставаясь в пределах класса.

Если задано пространство элементарных событий W и какая-нибудь алгебра или s-алгебра его подмножеств, то говорят, что задано измеримое пространство (W,E) или (W,F).На измеримом пространстве задается числовая функция P(A), которая называется вероятностьюи удовлетворяет трем аксиомам.

Аксиомы вероятности (аксиомы Колмогорова)

· Аксиома №1 (аксиома неотрицательности):

Р(А)³0 , для любого АÎE или АÎF

Каждому событию А соответствует неотрицательное число – вероятность этого события.

· Аксиома №2 (аксиома нормировки):

Р(W)=1.

Вероятность достоверного события равна 1.

· Аксиома №3 (аксиома аддитивности):

Если заданы события такие, что при i¹j, то

(*)

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей.

Замечание: Функции множеств, обладающие свойством (*) при n< называются аддитивными мерами, а при n= – счетно-аддитивными мерами.

Определение:Вероятность – неотрицательная, нормированная к единице мера, заданная на измеримом пространстве событий, характеризующая степень возможности появления событий.

Соответствие между событиями и их вероятностями называется распределением вероятности.

Таким образом, Р(А), как функция множествАÎF, (E) определяет распределение вероятностей на F,(E). Пространство элементарных событий W с заданной на нем алгеброй E (или s-алгеброй F) подмножеств и определенной на E(F) вероятностью Р называется вероятностным пространством.

Обозначение вероятностного пространства: (W,E,Р) или (W,F,Р). Вероятностное пространство определяет вероятностную модель рассматриваемого случайного явления.

Лекция № 3

Условная вероятность

Определение: Пусть задано вероятностное пространство (W,F,Р) и на нем произвольные события А и В . Если Р(В)>0, то условная вероятность события А при условии, что произошло событие В есть

(1)

Поясним смысл условной вероятности. Вероятность события А - это мера объективной возможности данного события при определенных условиях опыта. Совокупность условий, определяющих опыт, обозначим g. (В опыте с подбрасыванием монеты g определяется формой монеты, высотой подбрасывания и т.п.). Таким образом, вероятность события А можно записать так:

Р(А)=Р(Аïg).

Эта запись указывает зависимость вероятности от совокупности условий опыта. Обычно условия опыта g в обозначениях вероятности не используются, они оговариваются при проведении опыта. Р(А) называют безусловной вероятностью события А. Допустим, что при данных условиях g произошло событие В. Наступление В можно считать дополнительным условием. Вероятность наступления А при совокупности условий (g,В) и есть условная вероятность

Р(А/В)=Р(А/g,В).

Вероятность событий при фиксированной совокупности условий g в отличие от условной вероятности называется безусловной. Разница между условной и безусловной вероятностями состоит лишь в различии совокупности условий. Безусловная вероятность есть частный случай условной, если условие В - достоверное событие.

Условная вероятность (1) удовлетворяет аксиомам Колмогорова.

1. Р(А/В)³0, т.к. Р(АВ)³0 и Р(В)>0;

2. P(W/B)=1, т.к. P(W/B)= ;

3. Если AÇC=Æ, то P((A+C)/B)=P(A/B)+P(C/B). Действительно, Р((А+С)/В)=

Независимые события

Определение: Пусть имеется вероятностное пространство (W,F,Р). События А и В (АÎW и ВÎW) называются статистически независимыми, если

P(AB)=P(A)P(B) (1)

(обычно слово «статистически» опускается и говорят, что А и В независимы, если (1) верно)

Лекция № 4

Формула полной вероятности.

Теорема 3. Пусть на вероятностном пространстве (W,F,Р) определена полная группа несовместных событий B₁, B₂,..., B_n, вероятности которых известны Р(B_i), . Событие А может появиться при появлении одного из событий B_i, причем условные вероятности Р(А/B_i) известны. Тогда вероятность Р(А) определяется следующим образом:

(1)

(1) - формула полной вероятности.

Доказательство: Событие А можно представить

А=АW=А( )= ,

т.к. B_i - несовместны, то АB_i - тоже несовместны, поэтому

Р(А)= = €

Пример. Как следует разложить два белых и два черных шара по двум урнам, чтобы при случайном выборе урны вероятность вынуть из неё белый шар была наибольшей?

Решение: Обозначим: B_i={выбор i-той урны}, i=1,2; A={вынут белый шар}. Условные вероятности Р(А/B_i) зависят от того, как разложены шары:

1) Все шары положены в одну урну

Р(А/B₁)=2/4=1/2, Р(А/B₂)=0, Р(А)=1/2×1/2+0×1/2=1/4

2) В одной урне все белые шары, в другой все черные.

Р(А/B₁)=1, Р(А/B₂)=0, Р(А)=1/2×1+1/2×0=1/2.

3) В каждой урне по одному белому и одному черному шару.

Р(А/B₁)=Р(А/B₂)=1/2, Р(А)=1/2×1/2+1/2×1/2=1/2

4) В одну урну положили черный шар, в другую - все остальные.

Р(А/B₁)=0, Р(А/B₂)=2/3, Р(А)=2/3×1/2=1/3

5) В одну урну положили белый шар, в другую – все остальные

Р(А/B₁)=1, Р(А/B₂)=1/3, Р(А)=1/3×1/2+1/2×1=2/3

Ответ: Наибольшая вероятность Р(А) в пятом варианте раскладки шаров.

Формула Байеса

Теорема 4. Пусть имеется полная группа несовместных событий B₁, B₂,..., B_n. Известны Р(B_i), . Событие А, для которого Р(А)>0 может произойти толь с одним из . Известны Р(А/ B_i), . Тогда апостериорная вероятность Р(B_k/А) определяется формулой:

(2)

Доказательство По определению

На основе формулы полной вероятности получаем:

.‹

(2) - формула Байеса.

Вероятности Р(B_k) называются априорными (a priori - до опыта) вероятностями; Р(B_k/А) - апостериорными (a posteriori - после опыта). События B_i часто называют гипотезами.

Пример. В урне лежит шар неизвестного цвета, с равной вероятностью белый или черный. В урну кладут белый шар, перемешивают и вынимают наудачу шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

Решение: Обозначим событие А={вынут белый шар}

B₁={в урне остался белый шар}={в урне был белый шар}; B₂={в урне черный шар}. Очевидно, Р(B₁)=Р(B₂)=1/2; P(A/ B₁)=1; P(A/ B₂)=1/2. Необходимо найти Р(B₁/А).

По формуле Байеса:

Ответ: Р(B₁/А)=2/3

Таким образом, апостериорная вероятность события B₁ существенно больше априорной.

Лекция № 1

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в массовых случайных явлениях.

Случайное явление -это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (испытания, эксперимента) протекает каждый раз несколько по-иному.

Примеры случайных явлений:

1. Одно и то же тело несколько раз взвешивается на весах, самых точных (аналитических). Результаты повторных испытаний - взвешиваний - несколько отличаются друг от друга. Это происходит за счет влияния многих факторов, как-то: положение тела и разновесок на чашках весов, вибрация аппаратуры, смещение головы и глаза наблюдателя и т.п.

2. Производится испытание изделия, например, реле на длительность безотказной работы. Результат испытания изменяется, не остается постоянным. Это обусловлено многими факторами, например, микродефекты в металле, разные температурные условия и т.д.

Закономерности случайных явлений могут проявляться только при их многократном наблюдении. Изучению поддаются только такие случайные явления, которые можно наблюдать много, практически неограниченное число раз. Такие случайные явления называются массовыми.

Результаты отдельных наблюдений случайных явлений непредсказуемы, но при многократных наблюдениях выявляются определенные закономерности. Эти закономерности и являются предметом изучения теории вероятностей(ТВ).

Возникновение теории вероятностей как науки относится к середине 17 века и связано с именами Паскаля (1623-1662), Ферма (1601-1665), Гюйгенса (1629-1695). Истинная история теории вероятностей начинается с работ Бернулли (1654-1705) и Муавра (1667-1754).

В 19 веке большой вклад в развитие теории и практики внесли Лаплас (1749-1827), Пуассон (1781-1840) и Гаусс (1777-1855). Следующий период в развитии теории вероятностей связан с именами Чебышева П.Л. (1821-1894), Маркова А.А. (1856-1922), Ляпунова А.М. (1857-1918).

Современный период развития связан с именами Колмогорова (1903-1987), Бернштейна (1880-1968), Мизеса (1883-1953) и Бореля (1871-1956). Теория вероятностей является мощным инструментом исследования. Находит большое число самых разнообразных применений в различных областях науки и инженерной практики.

Построение вероятностной математической модели случайного явления

Общим для всех случайных явлений является их непредсказуемость в отдельных наблюдениях. Для их описания и исследования необходимо построить математическую вероятностную модель. Для построения модели введем некоторые определения.

Опыт (эксперимент, испытание)- наблюдение какого-либо явления при выполнении определенных фиксированных условий.

Событие- факт, регистрируемый в результате опыта.

Случайное событие- такое событие, которое при проведении данного опыта может произойти, а может и не произойти. События обозначаются: A, B, C, D...

Пространство элементарных событий: для данного опыта всегда можно выделить совокупность случайных событий, называемых элементарными. В результате опыта обязательно происходит одно и только одно из элементарных событий.

Пример: Подбрасывается игральная кость. Может выпасть одна из граней с числом очков «1», «2», «3», «4», «5» или «6». Выпадение грани - элементарное событие. Элементарные события называют такжеисходами опыта.Совокупность всех возможных в данном опыте элементарных событий (исходов) называется пространством элементарных событий.

Обозначение: W={w_i}, где W - пространство элементарных событий w_i.

Таким образом, любому опыту можно поставить в соответствие пространство элементарных событий. Если производится наблюдение за неслучайным (детерминированным) явлением, то при фиксированных условиях всегда возможен лишь один исход. (W состоит из одного элементарного события). Если наблюдается случайное явление, то W состоит более чем одного элементарного события. W может содержать конечное, счетное или несчетное множество элементарных событий.

Примеры W:

· Подбрасывается игральная кость. Элементарное событие - выпадение какой-либо грани. W={1,2,3,4,5,6} - конечное множество.

· Измеряется число космических частиц, падающих на площадку за определенное время. Элементарное событие - число частиц. W={1,2,3...} - счетное множество.

· Производится стрельба по мишени без осечки бесконечно долго. Элементарное событие - попадание в некоторую точку пространства, координаты которой (x,y). W={(x,y)} - несчетное множество.

Выделение пространства элементарных событий представляет собой первый шаг в формировании вероятностной модели случайного явления.

Случайные события

Наряду с пространством элементарных событий важнейшим понятием теории вероятности является понятие случайного события.Как известно, событие - факт, регистрируемый в результате опыта. Этот факт может иметь место при наступлении одного из исходов, обладающих определенными свойствами. Данные исходы образуют подмножество в W. Можно сказать, что случайному событию A соответствует некоторое подмножество пространства элементарных событий W. Элементы этого подмножества обладают определенными свойствами, и реализация каждого из них приводит к наступлению события A. Подмножество обозначают той же буквой, что и A. Таким образом, случайное событие можно определить, используя понятие пространства элементарных событий следующим образом:

Случайное событие А- подмножество А в пространстве элементарных событий. Подмножество A может содержать один исход, ни одного исхода, счетное, несчетное число исходов, всё пространство элементарных событий.

Примеры случайных событий:

· Подбрасывается игральная кость.

Событие А={выпадение четной грани}, А={2,4,6,}.

Событие B={выпадение ‘6’}, B={6}.

· Измеряется число космических частиц, падающих на площадку. Событие

А={число частиц не превышает N},A={1,2,...N}.

· Производится стрельба по мишени. Событие А={попадание в десятку},

,

где R радиус центра мишени. W

Классификация событий

1.Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном опыте. Невозможному событию соответствует пустое множество. обозначение: Æ.

Пример: Æ= {выпадение ‘7’} при подбрасывании одной игральной кости.

2. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта (не может не произойти). Достоверному событию соответствует все пространство элементарных событий. Обозначение: W.

Пример: W={выпадение не более, чем ‘6’} при подбрасывании одной игральной кости.

3. События А₁, А₂,..., А_n называются несовместными, если в данном опыте никакие два из них не могут произойти вместе.

Пример: А₁ ={выпадение ‘6’}, А₂={выпадение нечетной грани}. А₁и А₂ несовместные события в опыте по подбрасыванию одной игральной кости.

4. Событие B называется подсобытиемили частью событияA,если при проявлении события B обязательно происходит событие A.Обозначение: BÌA.

Пример: Подбрасывается игральная кость. A={выпадение четной грани}; B={выпадение‘6’}.

Говорят также, что событие B влечет за собой событие A.

5. События A и B называются эквивалентными, если они могут появиться и не появиться только вместе. Обозначение: A=B. В этом случае AÌB и ВÌА.

6. Событием, противоположным (дополнительным к) событию A называется событие, заключающееся в непоявлении события A. Обозначение: .

Пример: A={выпадение четной грани}, ={выпадение нечетной грани}.Очевидно =А

7. События А₁, А₂,..., А_n образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно происходит хотя бы одно из них .

Замечание Элементарные события образуют полную группу несовместных событий.

Действия над событиями

1.Объединениемили суммойсобытий A и Bназывается событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Обозначение: С=АÈВ; C=A+B - для несовместных событий А и В. Объединение последовательности событий {A_i}, - появление хотя бы одного из них. Обозначение: C= ; C= - для несовместных событий.

2. Пересечением или произведениемсобытий A и B называется событие C, состоящее в появлении и события A и события B. Обозначение: C=AÇB; или C=AB. Произведение последовательности событий A_i , - это событие, состоящее в появлении всех n событий. Обозначение: C= .

Замечание: Если A и B несовместные события, то C=AÇB=Æ.

3.Разностьюсобытий A и B называется событие C, состоящее в появлении события A и непоявлении события B. Обозначение: C=A-B=A/B. Очевидно, что A-B=A .