Дифференциальные уравнения движения твердого тела

При поступательном движении твердого тела все его точки движутся также как центр масс. Поэтому поступательное движение тела сводится к движению любой его точки, и дифференциальными уравнениями поступательного движения будут являться проекции теоремы о движении центра масс на оси координат, где произвольной точкой будет центр масс.

. (10.1)

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид:

(10.2)

Произведение углового ускорения тела на осевой момент инерции равно сумме моментов внешних сил относительно оси вращения.

Дифференциальные уравнения плоского (плоскопараллельного) движения твердого тела может быть представлено как поступательное движение вместе с центром масс и вращательное движение вокруг оси ОZ:

(10.3)

I_Zc –момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через центр масс.

Примеры решения задач

Задача 1

Определить радиус инерции шкива, масса которого m = 50 кг и радиус R = 0,5 м, если под действием силы натяжения троса Т = 18t он вращается вокруг оси Oz по закону φ = t³/3+3t.

Решение

Используем дифференциальное уравнение вращательного движения тел:

где – момент силы Т относительно оси OZ.

– кинетический момент шкива.

Ответ:

Задача 2

На какой угол повернется за 1 с маховик, масса которого m = 1,5 кг и радиус инерции i = 0,1 м, если он начинает вращаться из состояния покоя под действием главного момента внешних сил M^E_Z = 0,15 ?

Решение

Используем дифференциальное уравнение вращательного движения тел: .

, ,

; , , , , ,

, , , рад.

Ответ: рад.

Работа силы

В общем случае работа силы на конечном перемещении равна

. (11.1)

Данная формула является наиболее общей для вычисления работы силы на конечном перемещении. Она применяется в следующих случаях:

1) когда точка под действием силы перемещается по криволинейной траектории;

2) когда точка перемещается по прямой, но сила переменна по величине и/или по направлению.

Работа A постоянной по модулю и направлению силы , действующей на прямолинейном перемещении материальной точки, есть произведение модуля F силы, модуля s перемещения и косинуса угла a между векторами силы и перемещения.

. (11.2)

Единицей измерения работы в системе СИ является 1 Джоуль (1 Дж).

Работа силы тяжести

A = ±m×g×h (11.3)

Работа силы упругости

, (11.4)

где h – деформация пружины.

Работа момента силы

. (11.5)

Если момент , то последняя формула примет вид

(11.6)

Примеры решения задач

Задача 1

На тело действует постоянная по направлению сила . Определить работу этой силы при перемещении тела из положения с координатой x₀ = 0 в положение с координатой x₁ = 1 м.

Решение

Работа силы определяется по формуле:

, ,

, Дж.

Ответ: Дж.

Задача 2

Цилиндр, масса которого m = 1 кг, радиус r = 0,173 м, катится без скольжения. Определить суммарную работу силы тяжести и силы сопротивления качению, если ось цилиндра переместилась на расстояние s = 1 м и коэффициент трения качения м.

Решение

– работа силы тяжести

– Работа момента силы сопротивления M.

Спроецируем все силы на ось OY:

Ответ: