Теорема об изменении количества движения для материальной точки

Количество движения материальной точки – это вектор, имеющий направление вектора скорости и равный произведению массы точки на ее скорость:

. (6.1)

. (6.2)

Производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, действующих на точку.

Данное утверждение – это теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме. Выражение теоремы об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме имеет вид

. (6.3)

Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток t–t₀ времени равно импульсу равнодействующей сил, действующих на точку за тот же промежуток времени

(6.4)

Если сила , то импульс силы

. (6.5)

Примеры решения задач

Задача 1

Трубка вращается с угловой скоростью рад/с. Относительно трубки движется шарик М массой m = 0,2 кг со скоростью м/с. Определить модуль количества движения шарика в момент времени, когда расстояние ОМ = 0,4 м.

Решение

Количество движения определяется по формуле:

,

где – абсолютная скорость точки

, , м/с.

м/с;

Ответ: .

Задача 2

Материальная точка М массой m = 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью м/с. Определить модуль импульса равнодействующей всех сил, действующих на эту точку за время ее движения из положения 1 в положение 2.

Решение

Т.к. скорость точки в 1-ом и 2-ом положении постоянная, то модуль количества движения в 1-ом и 2-ом положении будут равны и определяются:

; .

Ответ: .

Теорема об изменении количества движения механической системы

Количество движения механической системы – вектор, равный сумме векторов количеств движения всех точек, входящих в систему:

. (7.1)

Упростив эту формулу получим:

. (7.2)

Количество движения механической системы есть вектор, равный произведению массы системы на скорость центра масс данной механической системы.

. (7.3)

Производная от вектора количества движения механической системы по времени равна главному вектору внешних сил, действующих на систему.

Рассматривается также теорема об изменении количества движения механической системы в интегральной форме: изменение количества движения механической системы равно импульсу главного вектора внешних сил, действующих на систему.

Т.е. . (7.4)

где – импульс главного вектора внешних сил равен векторной сумме импульсов составляющих сил.

. (7.5)

Примеры решения задач

Задача 1

По горизонтальному участку пути движутся два вагона, массы которых кг, кг и скорости м/с, м/с. Второй вагон догоняет первый и сцепляется с ним. Пренебрегая сопротивлением движению, определить скорость вагонов после сцепления.

Решение

Согласно теореме об изменении количества движения:

– импульс сил.

;

Т.ак как никаких внешних сил к системе не было приложено,

то S = 0, и

Ответ: м/с.

Понятия о моментах инерции

При поступательном движении мерой инерции твердого тела является масса. При вращательном движении инертность тела определяется распределением его массы относительно оси вращения, т.е. моментом инерции.

Момент инерции тела относительно полюса – скалярная величина, численно равная сумме произведений масс всех материальных точек тела (системы) на квадрат расстояния до полюса (рис. 1)

. (8.1)

Момент инерции относительно оси – скалярная величина, численно равная сумме произведений масс всех материальных точек тела (системы) на квадрат расстояния до оси

. (8.2)

Радиус инерции определяет то расстояние от оси до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу тела, чтобы она имела тот же момент инерции, как и рассматриваемое тело.

. (8.3)

Для определения моментов инерции относительно параллельных осей используется теорема Гюйгенса Штейнера. Согласно ей момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между ними.

. (8.4)

Для однородных простейших симметричных тел формулы для определения моментов инерции имеются в соответствующих справочной литературе. Так, например, для однородного тела, имеющего форму диска момент инерции относительно оси диска определяется: .

Примеры решения задач

Задача 1

Определить момент инерции конструкции состоящей из однородных стержней 1 и 2, относительно оси Oz, если массы стержней m₁ = 2 кг, m₂ = 1 кг, а размеры l₁ = 0,6 м, l₂ = 0,9 м.

Решение

Стержень 1 представим в виде материальной точки. Момент инерции системы находим как сумма моментов инерции 2-х тел.

– момент инерции материальной точки;

– момент инерции однородного стержня, если ось вращения проходит через конец стержня.

Момент инерции системы:

.

Ответ: .