Соотношение неопределённостей

Обнаружение волновых свойств микрочастиц означает, что классическая механика не может дать правильного описания поведения микрообъектов. Новая физическая теория, устанавливающая законы движения и взаимодействия микрочастиц и фотонов с учетом их волновых и корпускулярных свойств, была разработана, главным образом, тремя физиками: Э. Шредингером (австр.), В. Гейзенбергом (нем.) и П. Дираком (англ.) в начале ХХ века и получила название волновой или квантовой механики.

В классической механике всякая частица движется по определённой траектории, так что ее координаты и импульс могут быть точно рассчитаны для любого момента времени. Совсем по иному обстоит дело, если рассматривается вопрос о локализации волнового процесса, т.е. о месте нахождения волны в данный момент времени. Ведь волна не имеет ни определенной траектории, ни определенной координаты. Т.о. возникает необходимость внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

Эти ограничения сформулированы Гейзенбергом и получили название соотношений неопределенностей. Основное из них гласит: чем точнее определены какие-либо из координат частицы, тем больше неопределенность в значении составляющей импульса (или скорости) в том же направлении, и наоборот. Количественно это записывается так:

Δx·Δp_x ≥ ђ Δx·Δυ_x ≥ ђ/m,

Δy·Δp_y ≥ ђ Δy·Δυ_y ≥ ђ/m, (3)

Δz·Δp_z ≥ ђ Δz·Δυ _z ≥ ђ/m,

где Δx, Δy, Δz – неопределенности координат; Δp_x, Δp_y, Δp_z – неопределенности проекций импульса на оси – x, y, z; Δυ_x, Δυ_y , Δυ_z – неопределенности проекций скоростей на соответствующие оси; m – масса микрочастицы; ђ = h/2π – постоянная Планка с крышечкой.

Из соотношения неопределенностей следует: если положение частицы точно известно (Δx=0), то в этом состоянии проекция импульса на ось х-ов совершенно не определена (Δp_х → ∞), и наоборот.

Покажем, что соотношение неопределенностей действительно вытекает из волновых свойств микрочастиц. Рассмотрим мысленный опыт по дифракции потока электронов на щели шириной Δx ~ λ, расположенной перпендикулярно к направлению движения частиц (рис. 3).

До прохождения через щель p_х = 0; ∆p_х = 0, а координата x не определена, т.е. ∆x→ ∞. В момент прохождения через щель координата электрона имеет неопределенность ∆x равную ширине щели. В то же время, из-за дифракции, электроны отклоняются от первоначального направления и будут двигаться в пределах угла 2φ, где φ – угол дифракции. Теперь появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси x-ов:

∆p_х = p∙sinφ = h sinφ / λ_Б . (4)

Если даже ограничиться электронами, попадающими на экран в пределах центрального максимума, то sinφ найдем из условия 1-ого минимума на щели (bsinφ = kλ, где b – ширина щели, k – порядок минимума):

∆x∙sinφ = λ_Б. (5)

Подставляя выражение для sinφ в (4), после преобразования получим

Δx·Δp_x = h (6)

Учитывая главные max более высоких порядков, куда тоже попадают электроны, окончательно будем иметь:

Δx·Δp_x ≥ h ≥ ђ (7)

Следует подчеркнуть, что невозможность одновременного и точного определения координаты и соответствующей составляющей импульса не связана с несовершенством наших знаний или неточностью приборов, а является следствием специфических и вместе с тем объективных свойств микрообъектов.

Проиллюстрируем оценку границ применимости теории на примерах.

1. Скорость движения электрона в электроннолучевой трубке составляет υ_х=10⁶ м/с и определена с точностью до Δυ_х=10² м/с. Тогда неопределенность координаты:

Δx·Δυ_x ≥ ђ/m, .

Т.е. в данном случае можно говорить о точке падения каждого отдельного электрона на экран и о траектории.

2. Скорость движения электрона в атоме водорода υ_х ~ 10⁶ м/с, неопределенность координаты порядка диаметра атома Δx = d ~10^-10 м. Тогда неопределенность величины скорости

Т.е. неопределенность скорости соизмерима с самой скоростью. Это означает, что электрон не может теперь рассматриваться как дискретная частица.

Соотношение неопределенностей может быть записано для любой пары взаимосвязанных характеристик состояния микрочастиц, например, для энергии и времени пребывания в этом энергетическом состоянии:

ΔЕ·Δt ≥ ђ. (8)

Из данного соотношения видно, что разброс энергии ΔЕ = ђ/Δt возрастает с уменьшением среднего времени пребывания системы в состоянии с энергией Е. Отсюда, следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность:

Δv = ΔЕ / h, (9)

т.е. линии спектра, обусловленные переходом электронов между уровнями Е₁ и Е₂ с ΔЕ = Е₁ – Е₂, будут иметь размытие по частоте равное Δv= v₀ ± ΔЕ / h, что подтверждается опытом.

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ

Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением рассеянных частиц по разным направлениям. С точки зрения волновой теории это означает, что направлениям максимумов соответствует наибольшая интенсивность волн де Бройля, а минимумам – наименьшая. Т.е. интенсивность волны де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц, попавших в эту точку. Т.о. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической закономерности. Это означает, что описание поведения микрочастиц должно носить вероятностный характер, что и является важнейшей отличительной особенностью квантовой механики от классической.

Состояние микрочастиц в квантовой механике описывается с помощью, так называемой, волновой функции вида ψ = f(x,y,z,t). Ее называют еще ψ-функция. Квадрат модуля ψ-функции определяет вероятность обнаружения частицы в момент времени t в области с координатами: x и x + dx; y и y + dy; z и z + dz – т.е. в элементе объема dV = dx dy dz:

dW = | ψ |² dV. (10)

Величина | ψ |² = dW /dV – имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестностях точки с координатами x,y,z. Т.о. физический смысл имеет не сама ψ-функция, а квадрат её модуля – |ψ|², которым и задается интенсивность волн де Бройля. Теперь вероятность найти частицу в момент времени t в объеме V будет:

. (11)

Очевидно, что объективность существования частицы во времени и в пространстве будет выражаться вероятностью достоверного события:

. (12)

Это соотношение является условием нормировки ψ- функции.

Волновая функция позволяет рассчитать вероятность реализации тех или иных значений параметров микрообъекта или их средние величины, например, расстояние электрона от ядра атома или вероятность перехода электрона с одного энергетического уровня на другой, что в свою очередь позволяет оценить относительную интенсивность спектральных линий.

Что бы ψ-функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы она должна удовлетворять следующим условиям: быть 1) конечной, т.к. W ≤ 1; 2) однозначной, т.к. вероятность не может быть неоднозначной; 3) непрерывной, т.к. вероятность не может изменяться скачком.

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

В зависимости от конкретных условий волновая функция, как основной носитель информации о корпускулярных и волновых свойствах микрочастиц должна иметь разный вид. Соответственно, уравнение из которого определяется вид ψ-функции должно быть волновым, подобно дифференциальному волновому уравнению механических или электромагнитных волн. Такое уравнение составлено в 1926 году Э. Шредингером. В наиболее простом случае для стационарных режимов, когда состояние движущейся частицы не зависит от времени U = const, оно имеет вид:

, (13)

где - оператор Лапласа, m – масса частицы, Е и U – полная и потенциальная энергии частицы.

Следует иметь в виду, что уравнение Шредингера нельзя вывести из каких-либо ранее известных соотношений. Оно постулируется на основе большого числа опытных данных, подобно тому, как это имело место с законами динамики Ньютона. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом результатов, которые получают с его помощью. Это, в свою очередь, придает ему характер закона природы.