Связь силы и потенциальной энергии

Каждой точке потенциального поля соответствует, о одной стороны, некоторое значение вектора силы f, действующей на тело, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии тела U. Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу совершаемую силами поля при малом перемещении тела происходящем

вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое мы обозначим буквой s. Эта работа равна , — проекция силы f на направление s.

Выражение дает среднее значение на отрезке . Чтобы получить значение f_s в данной точке, нужно произвести предельный переход: . Предел в формуле представляет собой частную производную от U по S: Соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности, и для направлений декартовых координатных осей х, у, z: Формулы определяют проекции вектора силы на координатные оси. Сам вектор силы равен: или .

№9 Система уравнений движения т.т. Динамика поступательного движения т.т. Вращение т.т. вокруг неподвижной оси. Момент инерции относительно оси. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Твердое тело является системой материальных точек, расстояние между которыми постоянно. не являются в строгом смысле уравнения-

ми движения системы материальных точек. для твердого тела как системы материальных точек эти уравнения являются замкнутой cистемой уравнений движения, т. е. с помощью них без каких-либо других дополнительных условии и уравнений можно полностью найти движение твердого тела в заданных внешних силовых полях. Необходимо еще лишь знание начальных условий движения. Ориентировка твердого тела в пространстве полностью определяется направлением осей прямоугольной декартовой системы координат, жестко связанной с телом, т. е. направлением единичных векторов i', j', к' этой системы координат. В ней положение каждой точки тела фиксировано и задается либо радиусом-вектором г' относительно пачала, либо декартовыми координатами точки (х', y’, z'). Поскольку система этих координат жестко связана с телом, координаты каждой его точки имеют в ней постоянное значение. Таким образом, имеется шесть уравнений для шести величин, характеризующих положение твердого тела, т. е. число уравнений равно числу неизвестных и поэтому могут в полном смысле быть названы уравнениями.

При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент вре-

мени оказываются одинаковыми. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, его центра инерции) для того, чтобы охарактеризовать полностью движение всего тела. Поступательное движение т.т. описывает уравнение .

При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для описания вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени. Для вращательного движения: . I – момент инерции относительно оси z Момент инерции твердого тела зависит от распределения масс относительно интересующей нас оси и является величиной аддитивной. Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси zc, проходящей через центр масс Теорема Гюйгенса-Штейнера

момент инерции I относительно произвольной оси z равен моменту инерции I_c относительно оси Z_c, параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

Уравнение динамики вращения твердого тела . Уравнение справедливо в любой системе отсчета, жестко связанной с осью вращения. Однако если система отсчета неинерциальная, то момент сил Mz включает в себя не только моменты сил взаимодействия с другими телами, но и моменты сил инерции.

№10Вывод формул для кинетической энергии вращения т.т. вокруг неподвижной оси и для кинетической энергии плоского движения.

Вращение тела вокруг неподвижной оси. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси, которую мы назовем осью z. Линейная скорость элементарной массы представлена в виде . — расстояние от оси.Следовательно, кинетическая энергия элементарной массы равна .Кинетическая энергия тела слагается из кинетических энергий его частей: .Полученное выражение аналогично выражению для кинетической энергии тела, движущегося поступательно, При вращательном движении роль массы играет момент инерции, а роль линейной скорости - угловая скорость.

Кинетическая энергия тела при плоском движении. Плоское движение тела, может быть представлено как наложение двух движений — поступательного с некоторой скоростью v₀ и вращения вокруг соответствующей оси.. Свяжем с телом систему координат К', ось z' которой направим вдоль вектора угловой скорости вращения тела и. Скорость I-й элементарной массы тела в неподвижной системе координат К может быть представлена в виде радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке О'.

Кинетическая энергия I-й элементарной массы равна: Это выражение можно упростить, взяв в качестве

точки О' центр инерции тела С: . Кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра инерции, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела.

№11Столкновения. Законы сохранения при столкновениях. Изображение процессов столкновения с помощью векторных диаграмм на примере упругого столкновения двух частиц. Упругие и неупругие столкновения. Замедление нейтронов как пример упругого столкновения. Передача энергии при столкновениях.

Столкновением называется взаимодействие двух или большего числа материальных тел, частиц и т. д., которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени, так что вне этой области пространства и вне этого промежутка времени можно говорить о начальных состояниях тел, частиц и т. д. и об их конечных состояниях после взаимодействия как состояниях, в которых эти частицы, тела и т. д. не взаимодействуют.

Рис. 99, а соответствует случаю столкновения двух частиц а и б с импульсами ра и рб. После взаимодействия остались те же частицы, но их импульсы естественно изменялись на р’_a и р’_b. Однако в результате столкновения вместо частиц а и б могли образоваться две другие частицы: в и г Может случиться, что под влиянием некоторых процессов внутри частицы она распадется на две другие частицы: бив (рис. 99, г). Нет необхо- димости приводить все мыслимые диаграммы столкновений. Укажем лишь на возможность принципиально отличного от всех предыдущих процесса, в котором возникает промежуточное состояние (рис. 99, <9). В этом случае процесс столкновения состоит из двух стадий: сначала частицы а и б образуют частицу в, так называемую промежуточную, а затем она распадается на частицы г и д, которые в общем случае могут быть идентичными частицам а и б, но могут быть и другими. Таким образом, окончательный результат этого процесса эквивалентен столкновениям, изображенным на диаграммах рис. 99, а, б. Однако наличие промежуточного состояния, вообще говоря, оказывает влияние на ход процесса. Соотношения между величинами, характеризующими начальное и конечное состояния частицы, выражаются законами сохранения энергии, импульса и момента импульса при столкновении.

Закон сохранения импульса. Импульсы различных частиц до столкновения обозначим через Поскольку импульс замкнутой системы сохраняется, можем написать: Этот закон справедлив в релятивистском и нерелятивистском случаях.
Закон сохранения энергии в нерелятивистком случае:

В релятивистком случае:

Закон сохранения момента импульса: