Давление покоящейся жидкости
(рис.68 )
Выделим в объеме покоящейся жидкости небольшой объем (рис. 68), пусть на грань этого объема действует со стороны окружающих слоев сила давления F.
Из опыта известно, что трение покоя в жидкостях отсутствует, т.е. должны отсутствовать касательные усилия к выделенной грани.
Средним давлением называют величину: , где dF сила давления, действующая на площадку площади dS.
Истинным давлением или давлением в точке называют величину:
(276)
В покоящейся жидкости давление в точке не зависит от ориентировки площадки, на которую оно действует, действительно, в покоящейся: жидкости выделим небольшой объем, форма которого показана на рис. 69. На каждую грань объема действует силы давления, поскольку объем покоится, в каждом из координатных направлений сумма сил равна нулю:
т. к.
т.е.
(рис. 69)
Аналогично можно показать, что: . Следовательно:
Уравнение гидростатики Эйлера.
.
Впокоящейся жидкости выделим малый ее объем dV=dxdydz в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 70).
Известно давление в центре объема p и изменение давления на единицу длины в каждом из координатных направлений:
На каждую грань объема действуют силы давления, а на весь объем - объемные (массовые) силы, например, сила тяжести. Поскольку объем покоится, сумма проекции всех сил по каждому из координатных направлений равна нулю.
На заднюю грань действует сила давления:
а на переднюю:
Кроме того, в этом направлении действует составляющая массовой силы dq, которую можно определить по второму закону Ньютона:
где: r - плотность среды, ax- ускорение, которое способна сообщить массовая сила. Т. к. объем покоится,
т.е.
Поскольку : (277)
Аналогично для других координатных направлений: (278)
(279)
(277), (278), (279) и представляют собой систему уравнений гидростатики Эйлера
Уравнение поверхности уровня.
.
Поверхностью уровня называют такую поверхность, во всех точках которой давление одинаково (dP=0)
то, с учетом уравнение Эйлера:
для поверхности уровня:
(280)
В случае идеальной жидкости:
(281)
Пример, Пусть жидкость покоится в поле тяготения 3емли.
Плоскость 0XY горизонтальна, а ось z направлена вертикально вверх. В этом случае:
Тогда:
т.е. z=const, т.о. поверхности уровня (в частности, свободная поверхность) горизонтальны.
Закон Паскаля
Жидкость покоится в поле тяготения Земли. В этом случае уравнения Эйлера имеют вид:
(282)
(283)
( 284)
С учетом (282) и (283) последнее уравнение (284) принимает вид:
(285)
откуда:
(286)
где удельный вес жидкости. Интегрируя (286), получаем
(287)
Постоянная интегрирования будет определена, если в точке с координатой z0 известно давление p0. Тогда
Последнее выражение обычно записывают в виде:
(288)
т.е. для жидкости, покоящейся в поле тяготения Земли, сумма геометрической (Z) и пьезометрической (p/g)) высот для всех точек объема жидкости одинакова. Это и есть закон Паскаля.