РГР № 7 «Расчет вала на прочность и жесткость»

ЗАДАЧА. Стальной вал вращается с угловой скоростью ω (рад/с), передавая на шкивы мощности P_i , как показано на схеме. Необходимо:

I) Определить значения скручивающих моментов, соответствующих передаваемым мощностям, и уравновешенный момент, если М_i =0;

II) Выбрать рациональное расположение шкивов на валу, построить эпюры крутящих моментов для каждой схемы по длине вала. Дальнейшие расчеты проводить для вала с рационально расположенными шкивами;

III) Определить размеры сплошного вала круглого и кольцевого сечений из расчетов на прочность и жесткость, приняв [τ]=30 МПа; [φ₀]=0,02 рад/м; с=0,9;

IV)Сравнить валы круглого и кольцевого сечения в зависимости от массы и габаритов.

Данные своего варианта взять из табл. РГР № 7

а)	б)
Схемы к задаче РГР № 7

Таблица РГР № 7

ω, рад/с						Р1	Р2
Р3 , кВт
a, b, c	м						кВт
№ варианта и задачи

Задача РГР № 1

При помощи стержневого устройства АВС (в точках А, В и С соединения шарнирные) удерживаются в равновесии два груза. Определить:

I) реакции стержней, удерживающих грузы. Массой стержней пренебречь;

II) из условия прочности размеры поперечного сечения стержней кронштейна в форме: круга и уголка по ГОСТ 8509-86 г., если [σ]=140 МПа.

Дано: G₁=80 кН; G₂=60 кН. Найти: R_A, R_C; А.

Решение I:

1. Рассматриваем равновесие шарнира В.

2. Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей.

3. Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В:

∑F_kx=0; ∑F_kx=-F₁cos70⁰+R_Ccos20⁰+R_A=0;

∑F_ky=0; ∑F_ky=-F₁sin70⁰+F₂+R_Csin20⁰=0;

R_C=(F₁sin70⁰-F₂)\sin20⁰=(80·0,9397-60)\0,3420=44 кH;

R_A=F₁cos70⁰-R_Ccos20⁰=80·0,3420-44·0,9397=-14 кH.

4. Проверяем правильность полученных результатов, решая задачу графически.

Для построения силового многоугольника выбираем масштаб .

Из произвольной точки В строим в следующем порядке:

· ВD=F₁; DC=F₂

· Из точек В и С проводим прямые, параллельные положениям стержней А и С. Эти прямые пересекаются в точке А так, чтоCA=R_C, AB=R_A;

отсюда R_C=CA· _F=4,4·1=44 кН; R_A=AB· _F=1,4·1=14 кH.

Решение II:

1. Стержень – прямой брус, работающий на растяжение или сжатие.

N_А=R_A=-14 кH - сжатие; N_С=R_C=44 кH – растяжение.

2. Из условия прочности находим площади поперечных сечений стержней:

N_max=çN_Сú=44 кH=44000 Н; N_min=çN_Aú=14 кH=14000 Н;

А_C=N_С\[σ]=44000\140=314,3 мм²=3,14 см²;

А_А=N_А\[σ]=14000\140=100 мм².

3. Определяем диаметр стержня АВ =11,3 мм; d=12 мм;

выбираем для стержня СВ по ГОСТ 8509-86 уголок № 4,5; А=3,48 см².

ОТВЕТ:R_A=-14 кH; R_C=44 кH; d_А=12 мм; стержня С - уголок № 4,5.

Задача РГР № 2

Для двухопорной балки, нагруженной сосредоточенными силами F₁, F₂ и парой сил с моментом М определить:

I) реакции опор балки;

II) размеры поперечного сечения балки в форме круга, приняв [σ]=160 МПа.

ДАНО: F₁ =15 кН; F₂ =4 кН; М=2 кН∙м.Найти: R_A, R_В; А.

РЕШЕНИЕ I:

1. Изобразим балку с действующими на нее нагрузками. Строим расчетную схему балки.

2. Составляем уравнения равновесия и определяем неизвестные реакции опор:

∑M_A(F_k )=0, F₂·AC+R_By·AB+M=0;

R_By=(F₂·3-M)/4; R_By=(-4·3-2)/4=-14/4=-3,5 кН.

∑F_ky=0, R_Ay+F₁+F₂+R_By=0, R_Ay=-F₁-F₂-R_By=-15-4+3,5=-15,5 кН.

3. Проверяем правильность найденных результатов:

∑M_B(F_k )=-R_Ay·AB-F₁·АB+M-F₂·BD=15,5·4-15·4+2-4·1=0.

РЕШЕНИЕ II:

1. Делим балку на участки по характерным точкам: AC, CB, DB.

2. Определяем ординаты и строим эпюру Q_y:

AC, сечение I-I, справа Q_y1=R_Ay+F₁=-15,5+15=-0,5 кН.

CВ, сечение II-II, справа Q_y2=R_Ay+F₁+F₂=-15,5+15+4=-3,5 кН.

DВ, сечение III-III, слева, Q_y3=0 кН.

3. Определяем ординаты и строим эпюру М_х:

AC, сечение I-I, справа, 0£z₁£3 м, М_х1=R_Ay·z₁+F₁·z₁,

при z₁=0 М_х1=0; при z₁=3 м М_х1=-15,5·3+15·3=-1,5 кН∙м.

CВ, сечение II-II, справа, 0£z₂£1 м, М_х2=R_Ay·(3+z₂)+F₁·(3+z₂)+F₂·z₂,

при z₂=0 М_х2=-1,5 кН∙м; при z₂=1 м М_х2=-15,5·4+15·4+4·1=2 кН∙м.

DB, сечение III-III, слева, 0£z₃£1 м, М_х3=М=2 кН.

4. Проверяем правильность построения эпюр на участке AС:

dМ_х1/dz=d(R_Ay·z₁+F₁·z₁)/dz=R_Ay+F₁=Q_y1=-0,5 кН.

5. Исходя из эпюры М_х: êМ_{х max}ú=2,0 кН·м=2,0·10⁶ Н·мм.

6. Определяем осевой момент сопротивления сечения:

W_x≥êМ_{х max}ú/[σ]≥2000000/160≥12500 мм³.

7. Находим диаметр поперечного сечения балки:

=50мм. Принимаем d=50 мм.

ОТВЕТ:R_B=-3,5 кН; R_A=-15,5 кН; d=50 мм.

Задача РГР № 3

Для заданной плоской однородной пластины АВСDE определить

I) Положение центра тяжести;

II) Главные центральные моменты инерции.

Дано: В=180 мм; b=140 мм; R=10 мм; Н=160 мм; h=100 мм

Найти: С(х_С; у_С); J_xС; J_уС

РЕШЕНИЕ I:

1. Разбиваем сложное сечение пластины на 3 простых сечения:

прямоугольник - АВDK; полукруг - ВС; треугольник - DKE

2. Определяем необходимые данные для простых сечений:

□АВDK: 180´160; А₁ =180·160=28800 мм ² =288 см ²; С₁ (9; 8)

круг : А₂=πR²=3,14·10²=314 мм ²=3,14 см ²; С₂ (1,5; 14)

ΔDKE: А₃ =100·40/2=2000 мм²=20 см ²; С₃ (16; 3,3).

3. Определяем положение центра тяжести сложного сечения пластины:

Х_С =∑(А_k·х_k)\∑А_k; Y_C =∑(А_k·у_k)\∑А_k;

=8,6 см;

=8,3 см;

Х_С=8,6 см; Y_C=8,3 см.

Решение II:

1. Провести оси координат и центральные оси простых сечений.

2. Определяем центральные моменты инерции для простых сечений:

□АВDK: =6144 см⁴; =7776 см⁴;

круг : J_x2=J_у2=π(2R)⁴/64=3,14·2⁴/64=0,785 см⁴;

ΔDKE: J_x3=КЕ·КD³/36=4·10³/36=111,1 см⁴;

J_у3=КЕ³·КD/48=4³·10/48=13,3 см⁴.

3. Определяем расстояния между главной центральной осью сложного сечения и центральными осями простых сечений:

а₁=|у_С-у₁|=8,3-8=0,3 см; а₂=|у_С-у₂|=|8,3-14|=5,7 см;

а₃=|у_С-у₃|=8,3-3,3=5 см; е₁=|х_С-х₁|=|8,6-9|=0,4 см;

е₂=|х_С-х₂|=8,6-1,5=7,1 см; е₃=|х_С-х₃|=|8,6-16|=7,4 см.

4. Определяем главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси у:

J_уС =∑(J_уi+а_i²·А_i)=(J_у1+а₁²·А₁)-(J_у2+а₂²·А₁)-(J_у3+а₃²·А₃);

J_уС=(7776+0,3²·288)-(0,785+5,7²·3,14)-(13,3+5²·20)=7185,8 см⁴.

5. Определяем главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси х:

J_хС=∑(J_хi+е_i²·А_i)=(6144+0,4²·288)-(0,785+7,1²·3,14)-(111,1+7,4²·20);

J_хС=4824,7 см⁴.

Ответ: Х_С=8,6 см; Y_C=8,3 см; J_уС=7185,8 см⁴; J_хС=4824,7 см⁴.

Задача РГР № 4

Автомобиль движется по круглому арочному мосту радиуса r=50 м согласно уравнению S=0,2t³-t²+0,6t (S –[м], t – [с]).

Построить графики перемещения, скорости и касательного ускорения для первых пяти секунд движения. На основании анализа построенных графиков указать: участки ускоренного и замедленного движения. Определить полное ускорение автомобиля в момент времени 2 секунды.

Дано: Закон движения автомобиля S=0,2t³-t²+0,6t; t=5 мин.

Найти: v₀, а_t0; t при v=0, а_t=0; а при t=2 с.

Решение:

1. Находим уравнения скорости:

v=dS\dt=(0,2t³-t²+0,6t)^'=0,6t²-2t+0,6

а) при t=0 мин v₀=0,6 м\с;

б) при v=0 0,6t²-2t+0,6=0 отсюда

t₁=3 с; t₂=0,3 с.

2. Находим уравнение ускорения

а_t=dv\dt=(0,6t²-2t+0,6)^'=1,2t-2

а) при t=0 мин а_t= -2 м\с²;

б) при а_t=0 1,2t-2=0 отсюда t=1,7 с.

3. Для построения графиков составляем сводную таблицу численных значений параметров движения автомобиля

Таблица

Значения t; с
S=0,2t3-t2+0,6t; м		-0,2	-1,2	-1,8	-0,8
v=0,6t2-2t+0,6; м\с	0,6	-0,8	-1		2,2	5,6
аt=1,2t-2; м\с2	-2	-0,8	0,4	1,6	2,8

4. Определяем полное ускорение автомобиля в момент времени 2 секунды

; а_t2=0,4 м\с²; а_n2=(v₂)²\R=(-1)²\50=0,02 м\с²

отсюда м\с².

ОТВЕТ:v₀=0,6 м\с; v=0, t₁=3 с, t₂=0,3 с; а_t=0, t=1,7 с; а₂=0,4 м/с²

Задача РГР № 6

Защемленный в стене двухступенчатый брус нагружен осевыми силами. Массой бруса пренебречь.

I) Определить нормальные силы и напряжения в поперечных сечениях по всей длине бруса;

II) Построить эпюры нормальных сил и напряжений по длине бруса;

III) Определить перемещение свободного конца бруса, если Е = 2·10⁵ МПа.

ДАНО: F₁ = 30 кН; F₂ = 38 кН; F₃ = 42 кН; А₁ = 1,9 см²; А₂ = 3,1 см²;

a = 0,2 м; b = 0,1 м; с = 0,5 м.

НАЙТИ: N_i ; σ_i ; ∆l.

РЕШЕНИЕ:

1. Разбиваем брус на участки: АВ; BC; СD.

2. Определяем значения нормальной силы N на участках бруса:

Участок АВ, сечение I-I, N₁ = F₁ = 30 кН;

Участок ВС, сечение II-II, N₂ = F₁+ F₂ = 30+38= 68 кН;

Участок СD, сечение III-III, N₃ = F₁+ F₂ -F₃ = 30+38-42= 26 кН.

Строим эпюру нормальных сил.

3. Вычисляем значения нормальных напряжений на участках бруса:

Участок АВ, сечение I-I, σ₁=N₁/А₁= =158 Н/мм²; σ₁=158 МПа;

Участок ВС, сечение II-II, σ₂=N₂/А₁= =219,4 Н/мм²; σ₂=219,4 МПа;

Участок CD, сечение III-III, σ₃=N₃/А₁= =84 Н/мм²; σ₃=84 МПа.

Строим эпюру нормальных напряжений.

4. Определяем продольную деформацию бруса:

Участок АВ, сечение I-I,

∆l₁ = N₁·l₁/А₁·E = 30·10³·0,5·10³/1,9·10²· 2·10⁵ = 4·10^-1 мм ; ∆l₁ = 0,4 мм;

Участок ВС, сечение II-II,

∆l₂ = N₂·l₂/А₂·E = 68·10³·0,1·10³/3,1·10²· 2·10⁵ =1·10^-1 мм; ∆l₂ = 0,1мм;

Участок CD, сечение III-III,

∆l₃ = N₃·l₃/А₂·E = 26·10³·0,2·10³/3,1·10²· 2·10⁵ = 0,8·10 ^-1 мм; ∆l₃ = 0,08мм;

∆l =∆l₁+∆l₂ + ∆l₃ = 0,4+0,1+0,08 = 0,58 мм.

Ответ: ∆l =0,58 мм. Стержень растянут.

ЗАДАЧА РГР № 5

Скорость груза, поднимаемого лебедкой, изменяется согласно графику. Определить величину натяжения каната, на котором подвешен груз, если масса груза m. По максимальной величине натяжения каната определить мощность электродвигателя лебедки при коэффициенте полезного действия механизма лебедки η.

ДАНО: m=2800 кг, η=0,7. НАЙТИ: R_max, P_дв.

РЕШЕНИЕ:

А). Определяем максимальной величине натяжения каната: