И «Сопротивление материалов»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1

Тема программы:Плоская система произвольно расположенных сил

Тема практического занятия:Определение реакций опор балок

Цель занятия:Определить реакции опор консольной балки

Последовательность решения задачи:

1) изобразить балку с действующими на нее нагрузками;

2) составить расчетную схему балки:

3) выбрать расположение координатных осей;

4) произвести необходимые преобразования заданных сил:

– наклоненную к оси балки под углом силу F, заменить двумя взаимноперпендикулярными составляющими,

– равномерно распределенную нагрузку – ее равнодействующей;

5) освободить балку от опор, заменив их действие реакциями;

6) составить и решить уравнения равновесия заданной системы сил;

7) провести проверку решения.

Контрольные вопросы для студентов:

1. Какие разновидности связей рассматриваются в статике?

2. Как определяется проекция силы на ось?

3. Назовите единицы измерения силы?

4. Как определяется момент силы относительно точки?

5. Назовите единицы измерения момента силы?

6. Назовите правило знаков для определения момента силы относительно точки?

7. Чем отличаются активные силы от пассивных?

8. Запишите уравнения равновесия для системы произвольных сил?

9. Как определяется равнодействующая равномерно распределенной нагрузки?

10. Какая разновидность связи была задана в условии задачи?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

ЗАДАЧА. Жестко заделанная консольная балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q и моментом М.На расстоянии а от стены передается сила F, наклоненная к оси балки под углом α. Определить реакции заделки. Данные своего варианта взять из таблицы ПЗ № 1

а)	б)
Схемы к задаче ПЗ № 1

Таблица ПЗ № 1

q	кН/м	0,4	-1,8	1,4	1,2	-0,2	M	F	α
a	м
b						кН·м	кН	град
№ варианта и данные к задаче						6,2	-16
					-5,6
					7,8
					4,6	-22
					-5,0	8,0
						4,8
					2,8	-0,5

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ПЗ № 1

Задача. Жестко заделанная консольная балка АВ нагружена, как показано на рис. ПЗ №1, а. Определить реакции заделки балки

ДАНО: F=50 кН; q=5 кН/м; М=20 кН·м; α=20⁰.

НАЙТИ: R_А, φ_х, М_З.

РЕШЕНИЕ:

1) Изображаем балку (см. рис. ПЗ №1, а).

2) Составляем расчетную схему балки:

· провести оси координат х и у;

· найти модули проекций силы F:

F_х=F·cosα; F_х =50·cos20⁰=50·0,9397=47 кН;

F_у=F·sinα; F_у =50·sin20⁰=50·0,342=17,1 кН;

· определяем равнодействующую равномерно распределенной нагрузки и расстояние от ее линии действия до опоры А:

F_q=q·l=q·AB=5·5=25 кН; АК=l/2=АВ/2=2,5 м;

· применяем принцип освобождения тела от связей (см. рис. ПЗ №1, б).

3) Составляем уравнения равновесия и определяем неизвестные реакции опор:

∑F_kx=0, R_Ax+F_x=0, R_Ax=-F_x=-47 кН;

∑F_ky=0, R_Ay-F_q+F_y=0, R_Ay=F_q-F_y=25-17,1=7,9 кН;

=47,7 кН; =arcsin0,166=9,5⁰;

∑M_A(F_k)=0, M_З+F_q·AK-F_y·AC-M=0,

M_З=-F_q·AK+F_y·AC+M=-25·2,5+17,1·2+20=-8,3 кН·м.

4) Проверяем правильность найденных результатов:

M_C(F_k)=R_Ay·AC+M_З+F_q·CK-M=7,9·2–8,3+25·0,5-20=0;

Ответ: R_A=47,7 кH; φ_х=9,5⁰; M_З=-8,3 кН·м.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

Тема программы: Центр тяжести тела

Тема практического занятия: Определение положения центра тяжести плоского симметричного сечения

Цель занятия:Определить положение центра тяжести сечения, составленного из профилей стандартного проката

Последовательность решения задачи:

1) начертить заданное сложное сечение (фигуру), выбрать оси координат.

2) разбить сложное сечение на простые, для которых центры тяжести и силы тяжести известны;

3) определить необходимые данные для простых сечений:

а) выписать из таблиц ГОСТа для каждого стандартного профиля необходимые справочные данные (h; b; d; A; для швеллера z₀) или определить площадь простого сечения;

б) определить координаты центров тяжести простых сечений относительно выбранных осей координат;

в) определить статические моменты площади простых сечений;

4) определить положение центра тяжести сложного сечения.

Контрольные вопросы для студентов:

1. Каким свойством обладает центр параллельных сил?

2. Запишите формулы для определения центра тяжести плоской фигуры, составленной из площадей.

3. Что такое статический момент площади?

4. В каких единицах измеряется статический момент площади?

5. Какие свойством обладает статический момент площади?

6. Перечислите способы определения центра тяжести твердого тела.

7. Где находится центр тяжести тела, имеющего 2 оси симметрии?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ № 2

ЗАДАЧА. Для заданных плоских симметричных сечений,

составленных из профилей стандартного проката определить:

I) Положение центра тяжести;

II) Главные центральные моменты инерции.

Данные своего варианта взять из таблицы к ПЗ №2

а)	б)
Схемы к задаче ПЗ № 2

Таблица ПЗ № 2

№ двутавра						№ швеллера	Полоса, h×b, мм
№ варианта и данные к задаче							140´10
						150´12
						160´12
						160´10
						150´10
						300´16
						420´20

Обратите внимание, что, все геометрические параметры швеллера даны в ГОСТ при вертикальном положении его стенки. При повороте швеллера на угол 90⁰, все его геометрические параметры заданные относительно оси Х меняются на параметры заданные относительно оси У.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ПЗ №2

Задача. Для заданного плоского симметричного сечения составленного из профилей стандартного проката определить положение центра тяжести

Дано: полоса 120´10 (ГОСТ 103-76);

двутавр № 12 (ГОСТ 8239-89); швеллер № 14 (ГОСТ 8240-89).

Найти: С(х_С; у_С).

Решение I:

1) Разбиваем сложное сечение на 3 простых сечения:

1 – полоса; 2 – двутавр; 3 – швеллер.

2) Выписываем из таблиц ГОСТа и определяем необходимые данные для простых сечений:

Полоса 120´10; А₁ =120·10=1200 мм ² =12 см ²; С₁ (0;0,5)

Двутавр № 12; А₂ =14,7 см ² ; С₂ (0; 7)

Швеллер № 14; А₃ =15,6 см ² ; С₃ (0; 14,67)

3) Находим статические моменты площади относительно оси 0х:

S_x1 =A₁ ·y₁ =12·0,5=6 см ³; S_x2 =A₂ ·y₂ =14,7·7=102,9 см ³;

S_x3 =A₃ ·y₃ =15,6·14,67=228,9 см ³;

∑S_х = S_x1 + S_x2 + S_x3 =6+102,9+228,9=337,8 см ³.

4) Определяем сумму площадей простых сечений:

∑А_k = A₁+A₂ + A₃ =12+14,7+15,6=42,3 см ².

5) Определяем положение центра тяжести сложного сечения:

х_С =∑S_у\∑А_k; х_С =0 см;

у_C =∑S_х\∑А_k; у_C =337,8\42,3=8 см.

Ответ:центр тяжести сложного сечения находится в точке С(0; 8).

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

Тема программы: Геометрические характеристики

Тема практического занятия: Определение главных центральных моментов инерции сложного симметричного сечения

Цель занятия: Определить главные центральные моменты инерции сложного симметричного сечения, составленного из профилей стандартного проката

Последовательность решения задачи:

1) провести центральные оси простых сечений у сложного сечения центр тяжести, которой известен;

2) определить необходимые данные для простых сечений:

а) выписать из таблиц ГОСТа для каждого стандартного профиля необходимые справочные данные (J_xi; J_уi), определить центральные моменты инерции полосы;

б) определить расстояния между главной центральной осью сложного сечения и центральными осями простых сечений по формуле: а_i=|у_С-у_i |;

3) определить главные центральные моменты инерции сложного сечения.

Контрольные вопросы для студентов:

1. Какая величина называется статическим моментом сечения?

2. Назовите свойство статического момента сечения относительно центральных осей.

3. Какие величины называются осевыми моментами инерции сечения, какие сечения они характеризуют?

4. Какая величина называется центробежным моментом инерции сечения, какие сечения они характеризуют?

5. Какая величина называется полярным моментом инерции сечений, какие сечения он характеризует?

6. Назовите свойство полярного момента инерции сечения.

7. Какие моменты инерции сечения и оси называются главными?

8. Какие моменты инерции сечения называются главными центральными?

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ПЗ № 3

Задача. Для плоского симметричного сечения составленного из профилей стандартного проката определить главные центральные моменты инерции (см. ПЗ № 2)

Дано: полоса 120´10 (ГОСТ 103-76);

двутавр № 12 (ГОСТ 8239-89); швеллер № 14 (ГОСТ 8240-89);

центр тяжести сечения: С (0; 8).

НАЙТИ:J_x; J_у.

Решение II:

1) Провести центральные оси простых сечений.

2) Выписываем из таблиц ГОСТа и определяем центральные моменты инерции для простых сечений:

Полоса 120´10; А₁=12 см²; С₁ (0;0,5);

J_x1=b·h³/12=12·1³/12=1 см⁴; J_у1=b³·h=12³·1/12=144 см⁴.

Двутавр № 12; А₂ =14,7 см ² ; С₂ (0; 7); J_x2=350 см⁴; J_у2=27,9 см⁴.

Швеллер № 14; А₃ =15,6 см ² ; С₃ (0; 14,67); J_x3=45,4 см⁴; J_у3=491 см⁴

3) Определяем расстояния между главной центральной осью сложного сечения и центральными осями простых сечений:

а₁=|у_С-у₁|=8-0,5=7,5 см; а₂=|у_С-у₂|=8-7=1 см;

а₃=|у_С-у₃|=|8-14,67|=6,67 см.

4) Определяем главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси у по формуле:

J_у =∑J_уi =J_у1+J_у2+J_у3=144+27,9+491=662,9 см⁴.

5) Определяем главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси х по формуле:

J_хС=∑(J_хi+а_i²·А_i)=(J_х1+а₁²·А₁)+(J_х2+а₂²·А₂)+(J_х3+а₃²·А₃);

J_хС=(1+7,5²·12)+(350+1²·14,7)+(45,4+6,67²·15,6)=1780,1 см⁴.

Ответ: J_max= J_xС=1780,1 см⁴; J_min= J_у=662,9 см⁴.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4

Темапрограммы: Изгиб прямого бруса

Тема практического занятия: Определение размеров поперечного сечения консольной балки

Цель занятия: Определить размер поперечного сечения консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой и сосредоточенным моментом

Последовательность решения задачи:

1) найти опорные реакции балки (для консоли их можно не находить);

2) балку разделить на участки, границами которых являются сечения, в которых приложены: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается равномерно распределенная нагрузка;

3) выбрать расположение координатных осей, совместив ось z с осью балки, а оси у и х расположить в плоскости сечения (обычно ось у расположена вертикально);

4) применяя метод сечений, вычислить значения поперечных сил в характерных сечениях и построить эпюру поперечных сил. Если поперечная сила, изменяясь непрерывно, проходит через нулевое значение, то необходимо определить аппликату (z) сечения, где Q обращается в нуль;

5) применяя метод сечений, вычислить значения изгибающих моментов в характерных сечениях и построить эпюру изгибающих моментов.

Для определения экстремальных значений изгибающих моментов дополнительно определить моменты в сечениях, где эпюра поперечных сил проходит через нулевое значение;

6) используя дифференциальные зависимости, проверить правильность построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов;

7) из условия прочности определить осевой момент сопротивления сечения балки в сечении, где изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение;

8) используя таблицы ГОСТов или формулы для определения осевых моментов сопротивления простых плоских сечений (прямоугольник, круг), определить размеры поперечного сечения балки;

Контрольные вопросы для студентов:

1. Какие разновидности связей используют при проектировании балок?

2. Какой изгиб называется чистым?

3. Какой изгиб называется поперечным?

4. Как определить знаки поперечной силы и изгибающего момента?

5. Как изменяется поперечная сила в сечении балки, к которому приложена сосредоточенная сила?

6. Как распределены нормальные напряжения по поперечному сечению балки?

7. Как определить нормальное напряжение в любой точке данного поперечного сечения при прямом изгибе?

8. Какие формы поперечных сечений являются рациональными для балок из пластических материалов?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ № 4

ЗАДАЧА. Для стальной консольной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов; подобрать из условия прочности необходимый размер двутавра (швеллера), приняв [ ]=160МПа. Данные своего варианта взять из таблицы к ПЗ № 4

а)	б)
Схемы к задаче ПЗ № 4

Таблица ПЗ № 4

М, кН·м		-25		-10		F, кН
q, кН/м	1,2	-6	1,5	1,4	-9
№ варианта и задачи
					-20
					-30
					2,5
					-5,0

Примечание.Профиль сечения балки:

для четных вариантов – двутавр; для нечетных – швеллер.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ПЗ № 4

ЗАДАЧА. Жестко заделанная консольная балка АВ нагружена, как показано на рис. ПЗ №4. Построить эпюры Q_y и M_x, подобрать сечение в форме двутавра.

Дано: F=20 кН; q=21 кН/м; М=28 кН∙м; [σ]=160 МПа.

НАЙТИ: Q_y; М_х; W_х.

Решение:

1. Изобразим балку (см. рис. ПЗ №4, а).

2. Делим балку на участки по характерным точкам: ВС, СD, DA.

3. Определяем Q_y на каждом участке и строим эпюру (см. рис. ПЗ № 4, б):

ВС, сечение I-I, слева, 0≤z₁≤3 м Q_y1=0.

СD, сечение II-II, слева, 0≤z₂≤2 м; Q_y2=F=20 кН.

DA, сечение III-III, слева, 0≤z₃≤2 м, Q_y3=F-q·z₃,

при z₃=0 Q_y3=F=20 кН; при z₃=2 м Q_y3=F-q·2=20-21·2=20-42=-22 кН.

Q_y3=0 при z₃^'=0,95 м.

4. Определяем М_х на каждом участке и строим эпюру (см. рис. ПЗ № 4, в):

ВС, сечение I-I, слева, 0≤z₁≤3 м; М_х1=М=28 кН∙м.

СD, сечение II-II, слева, 0<z₂<2 м, М_х2=М-Fz₁,

при z₂=0 М_х2=М=28 кН∙м; при z₂=2 м М_х2=М-F·2=28-20·2=-12 кН·м.

DA, сечение III-III, слева, 0<z₃<2 м, М_х3=М-F(z₂+2)+qz² /2,

при z₂=0 М_х3=28-20·2=-12 кН·м;

при z₂=2 м М_х3=28-20·4+21·2²/2=-10 кН·м;

при z₂=0,95 м М_х3=28-20·2,95+21·0,95² /2=-21,5 кН·м.

Исходя из эпюры М_х.: êМ_{х max}ú=28 кН·м=28·10⁶ Н·мм.

5. Определяем осевой момент сопротивления сечения:

W_x ≥êМ_{х max}ú/[σ]; W_x≥28000000/160≥175000 мм³≥175 см³.

По ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 20 с W_х=184 см³.

ОТВЕТ:W_х=184 см³ ― двутавр № 20 по ГОСТ 8239-89

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5

Темапрограммы: Гипотезы прочности

Тема практического занятия:Определение диаметра вала при изгибе с кручением

Цель занятия: Определить диаметр вала, используя гипотезы прочности

Последовательность решения задачи:

1) используя принцип независимости действия сил, составить расчетные схемы вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях;

2) определяем реакции подшипников в горизонтальной и вертикальной плоскостях;

3) вал разделить на участки, границами которых являются сечения, в которых приложены: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты. Такие сечения называются характерными;

4) применяя метод сечений, вычислить значения изгибающих моментов в характерных сечениях в горизонтальной и вертикальной плоскостях, построить эпюры изгибающих моментов в плоскостях по отдельности;

5) применяя метод сечений, определяем действующий на валу крутящий момент, строим его эпюру;

6) для характерных точек определяем эквивалентные моменты, используя гипотезы прочности;

7) из условия прочности определить моменты сопротивлений сечений вала;

8) определяем диаметры ступеней вала.

Контрольные вопросы для студентов:

1) Чем характеризуется и как изображается напряженное состояние в точке?

2) Какие напряжения называются главными?

3) Перечислите виды напряженных состояний.

4) Чем характеризуется деформированное состояние в точке?

5) Что такое эквивалентное напряжение?

6) Поясните назначение гипотез прочности.

7) Какое напряженное состояние возникает в поперечном сечении вала при совместном действии изгиба и кручения?

8) Напишите условие прочности для расчета вала.

9) Напишите формулы для расчета эквивалентного момента при расчете по гипотезе максимальных касательных напряжений и гипотезе энергии формоизменения.

10) Как выбирается опасное сечение при расчете вала?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ № 5

ЗАДАЧА. Для трансмиссионного вала (рис. ПЗ № 5), передающего мощность Р при угловой скорости ω, необходимо: I) Определить вертикальную и горизонтальную составляющие реакций подшипников; II) Построить эпюры крутящего и изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях; определить диаметры вала по сечениям, приняв [σ]=60 МПа и F_r=0,364F_t. Расчет произвести, используя гипотезы прочности. На валу установлены два колеса, диаметры колес соответственно D₁; D₂.

Данные своего варианта взять из табл. ПЗ № 5

Таблица ПЗ № 5

ω рад/с						D1	D2	P
a	мм
мм	кВт
№ варианта и задачи								3,0
							4,0
							5,5
							7,5
							11,5
							15,0
							18,5

Примечание.Расчет на прочность произвести:

для четных вариантов – по гипотезе III; для нечетных – по гипотезе V.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ПЗ № 5

ЗАДАЧА.Для трансмиссионного вала, передающего мощность Р при угловой скорости ω, необходимо: I) Определить вертикальную и горизонтальную составляющие реакций подшипников; II) Построить эпюры крутящего и изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях; определить диаметры вала по сечениям, приняв [σ]=60 МПа и F_r=0,364F_t. Расчет провести по гипотезе III.

ДАНО: Р=4,2 кВт; ω=70 рад/с; а=0,1 м; D₁=0,1 м; D₂=0,06 м. НАЙТИ: d

РЕШЕНИЕ I:

1. Определяем силы, действующие на колеса вала:

; =1,2 кН; =2,0 кН;

F_r1=0,364F_t1=0,364·1,2=0,44 кН; F_r2=0,364F_t2=0,364·2,0=0,73 кН.

2. Используя принцип независимости действия сил, составляем расчетные схемы вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. ПЗ №5; а, б).

3. Определяем реакции подшипников:

∑М_у=F_t1·а-R_Вх·4а+F_t2·5а=0;

=2,8 кН;

∑М_у1=-F_t1·3а+R_Ах·4а+F_t2·а=0;

=0,4 кН;

∑М_х= F_r1·а-R_Вy ·4а- F_r2·5а=0;

=-0,8 кH;

∑М_x1=-F_r1·3а+R_Ау·4а-F_r2·а=0;

=0,5 кН.

РЕШЕНИЕ II:

1. Определяем изгибающие моменты в опасных точках: М_хD=0; М_уD=0;

Пл. Н: М_уС= R_Ах·а=0,4·0,1=0,04 кН·м; М_уВ=-F_t2·а=-2,0·0,1=-0,2 кН·м;

Пл. V: М_хС= R_Ау·а=0,5·0,1=0,05 кН·м; М_хВ=F_r2·а=0,73·0,1=0,073 кН·м.

2. Определяем крутящий момент на валу (рис. ПЗ № 5, в):

М_кр=М_вр=М₁=|М₂|=F_t1·D₁/2=|F_t2·D₂/2|=1,2·0,1/2=0,06 кН·м.

3. Определяем эквивалентные моменты в опасных точках по гипотезе III:

=0,09 кН·м;

=0,22 кН·м;

=0,06 кН·м.

4. Определяем диаметры вала по сечениям:

=1500 мм³; =24,8 мм;

=3667 мм³; =33,4 мм;

=1000 мм³; =21,7 мм;

ОТВЕТ: Принимаем d_С=25 мм; d_В=35 мм; d_D=22 мм.

Расчетно-графические работы

по дисциплине

“Техническая механика”

разделы:

«Теоретическая механика» и

«Сопротивление материалов»