Интерференция волновых цугов.

• 
  Интерференция квазимонохроматических волн
• 
  Пространственная и временная когерентность
• 
  Цвета тонких пленок
• 
  Полосы равной толщины и равного наклона
• 
  Эталон Фабри-Перо

Рассмотренный в лекции 1 процесс интерференции – идеализирован. Монохроматическая волна, участвующая в процессе – абстракция. Такая волна имеет бесконечную протяженность как в пространстве, так и во времени. Всякая реальная световая волна есть суперпозиция колебаний всевозможных частот (а, значит, и длин волн ), заключенных в некотором интервале частот (соответственно длин волн ). Например, испускаемые атомами спектральные линии имеют ширину порядка ( ).

Таким образом, когда мы говорим о монохроматической световой волне частотой , мы реально подразумеваем квазимонохроматическую волну – волновой пакет:

,

(2.1)

где и - амплитуда и фаза каждой из составляющих волновой пакет волн. Ширина спектрального интервала . При этих условиях (2.1) представляет собой ограниченный конечными размерами в пространстве и во времени волновой пакет (или волновой цуг), который напоминает классическую монохроматическую волну частотой ₀, но имеет начало и конец во времени (см. Рис. 2.1.).

Длительность каждого такого волнового цуга, назовем её - время когерентности, определяется временем излучения его отдельным атомом. В каждом тепловом источнике световых волн огромное количество атомов, находящихся в состоянии тепловых хаотических столкновений, излучают квазимонохроматические электромагнитные волны с характерным для данного сорта атомов временем излучения . Огромное число волновых цугов, распределенных в пространстве по случайному закону, излученных разными атомами в разные моменты времени, со случайными начальными фазами, и составляют реальный поток электромагнитного излучения.

Известный математический факт – волновой цуг, описываемый выражением (2.1) с шириной спектрального интервала имеет временную длительность

.

(2.2)

Замечания.

1. 
   В квантовой теории аналогичное соотношение носит название соотношения неопределенностей.
2. 
   Знак “~” показывает, что (2.2) претендует лишь на то, чтобы дать оценку порядков вычисляемых величин.

,	(2.3)
.	(2.4)

Ввиду оценочного характера соотношений, мы пренебрегаем численными коэффициентами. Пространственные размеры волнового цуга:

,

(2.5)

где будем называть длиной когерентности.

Во всех интерференционных установках, рассматриваемых в лекции 1, устойчивая интерференционная картина будет возникать только, если разность хода между двумя частями одной и той же квазимонохроматической волны не будет превышать длину когерентности . В противном случае у нее будут интерферировать разные цуги, в пространстве располагающиеся по нерегулярному хаотическому закону. При усреднении по времени большему , т.е. средней длительности волнового цуга, интерференционный член в среднем будет равен 0, т.е устойчивый интерференционной картины наблюдаться не будет. Разность хода, при которой возникает максимум m-го порядка, определяется соотношением:

.

(2.6)

Когда эта разность хода достигает значения порядка длины когерентности, полосы становятся неразличимыми. Предельный наблюдаемый порядок интерференции определяется условием:

,	(2.7)
.

Ч ем более высокие порядки интерференции мы желаем наблюдать, тем меньший интервал длин волн должен быть представлен в используемом световом излучении, тем большую длительность должны иметь волновые пакеты.

Всякий прибор, c помощью которого можно наблюдать интерференционную картину: глаз, фотопластинка, проектор и т.д., обладает определенной временной инерционностью, т.е он регистрирует результат усредненной по некоторому промежутку времени , необходимому для фиксации результата.

В основном уравнении интерференции

(2.8)

так называемый интерференционный член зависит от сдвига фаз двух волн. Если за время множитель принимает значения от -1 до +1, среднее значение интерференционного члена равно нулю, прибор фиксирует сумму интенсивностей двух волн, интерференция этим прибором не наблюдается. Если за время значение не изменяется, прибор фиксирует интерференцию – волны когерентны.

Отсюда следует: две волны могут вести себя как когерентные при наблюдении прибором малой инерционности ( << ) и как некогерентные при наблюдении прибором большой инерционности ( >> ) при условии, что разность хода двух волн в интерференционной установке превышает длину когерентности . В этом случае каждый волной цуг интерферирует не сам с собой, смещенным на некоторое расстояние ( при этом разность хода: ∆< ), а с другим цугом, расстояние докоторого каждый раз изменяется по случайному закону. В тоже время прибор большой инерционности фиксирует устойчивую картину интерференции, если разность хода ∆< .

Для описания интерференционных явлений используют понятие временной и пространственной когерентности. Временная когерентность была рассмотрена выше и, как было выяснено, связана со степенью немонохроматичности исследуемых волн. Пространственная когерентность характеризуется геометрией эксперимента и связана с положением интерференционных картин от многих элементарных источников, образующих протяженный источник.

Рассмотрим пространственную когерентность на конкретном примере: опыт Юнга.

Пусть источник имеет протяженные размеры и достаточно удален от экрана. Не теряя общности, будем считать его диском, имеющим угловые размеры . Пусть свет от протяженного источника падает на две узкие щели, за которыми расположен экран.

Волна, пришедшая от светящейся точки О и прошедшая две щели, создает нулевой максимум в центре экрана. Нулевой максимум создает волна, пришедшая от источника , при этом нулевой максимум смещен от центра на расстояние , нулевой максиму смещен от центра на такое же расстояние в противоположную сторону. Нулевые максимумы от остальных источников (некогерентных друг другу) располагаются между и . Поэтому интерференционная картина на экране есть наложение картин, создаваемых каждым некогерентным источником из промежутка .

Если смещение незначительно, а именно: , где - ширина интерференционной полосы, максимумы от разных точек источника практически совпадут и картина будет неотличима от созданной точечным источником, но значительно более яркой. При темные полосы будут замещены яркими максимумами от других точек – произойдет размытие интерференционной картины. Итак, условие наблюдаемости интерференции в опыте Юнга следующее:

.

(2.9)

Напомним, что d – расстояние между щелями. Таким образом, (2.9) определяет угловые размеры источника, при которых возможна интерференционная картина в опыте Юнга. Переписав (2.9) в другом виде, получим

.

(2.10)

Очевидно, что (2.10) определяет максимальное расстояние между щелями, при котором можно наблюдать интерференционную картину, т.е. считать каждую щель точечным когерентным источником. При интерференция отсутствует, что означает, что колебания в волне в точках, находящихся на расстояниях d друг от друга являются некогерентными. Расстояние называют длиной пространственной когерентности.

Если освещать щели в опыте Юнга солнечными лучами, следует учесть, что угловые размеры Солнца составляют порядка 0.01 рад, а характерная длина видимого света 0.5 мкм,по этому длина пространственной когерентности

.

(2.11)

Иногда вводят понятие объема когерентности, которое подразумевает разбиение пространства на объемные ячейки, в которых можно считать волну когерентной самой себе. Очевидно, что

.

(2.12)

Замечание. По мере удаления от источника степень его пространственной когерентности возрастает.

• 
  Цвета тонких пленок

Геометрия: , . (2.13)

.

Закон преломления: .

Оптическая разность хода лучей 2 и 1:

. (2.14)

, (2.15)

. (2.16)

max: , (2.17)

min: . (2.18)

Временная когерентность: , (2.19)

• 
  Полосы равной толщины и равного наклона

1.

	Полосы равного наклона, меняется - угол падения!

Облучаем установку рассеянным светом.

,

(2.20)
2.

	Полосы равной толщины.

(2.21)

Облучаем установку параллельным пучком .

Полосы локализованы на поверхности плёнки.

Линии - одинаково окрашены.

Кольца Ньютона (полосы равной толщины).

(2.22)

(2.23)

. (2.24)

, (2.25)

. (2.26)

Моделирование интерференционного опыта «Кольца Ньютона» в интерактивном курсе «Открытая физика 2.6» под редакцией профессора МФТИ С.М. Козелла.

(2.27)
Светлые кольца:
. (2.28)
Тёмные кольца:
. (2.29)
Ширина интерференционных полос на поверхности стеклянного клина вычисляется по формуле:

где показатель преломления стекла.

Интерференция в воздушном клине в отраженном свете:

а – воздушный клин, б – интерференционная картина, в – зависимость интенсивности отраженного излучения от поперечной по отношению к ребру клина координате, г - интерференционная картина при наличии впадины на поверхности 2.
Ширина интерференционных полос на поверхности клина вычисляется по формуле:

• 
  Эталон Фабри -Перо
• 
  Многолучевая интерференция

Интерференция возможна и при наложении когерентных волн от нескольких и даже бесконечного числа источников. Расчет интенсивности результирующего пучка также производится на основе универсального принципа суперпозиции, то есть сложением амплитуд с учетом фазовых соотношений и последующим вычислением интенсивности результирующего пучка. Одним из примеров многолучевых интерферометров является эталон Фабри – Перо, представляющий собой плоскопараллельную пластинку (возможно и воздушную), на поверхности которой нанесены отражающие покрытия.

- коэффициент отражения,

- коэффициент прохождения.

- амплитуда отражения пучка,

- амплитуда прохождения пучка.

- закон сохранения энергии.

- световые колебания в проходящем пучке,

- номер пучка, а не волновое число,

- порядок интерференции.

- для отраженного пучка.

Для проходящего результирующего пучка:

. (2.30)

Для отраженного результирующего пучка:

. (2.31)

Перейдем к интенсивностям:

. . (2.32)

Здесь (2.33)

где очевидно - фаза, набегающая между k- ым и ( k+1 ) – ым пучками, - угол преломления, - оптическая разность хода между k- ым и ( k+1 ) – ым пучками.

Углы , при которых m принимает целые значения, соответствуют m-ому порядку интерференции, т.е. соответствующей светлой полосе.

При облучении установки наклонным расфокусированным пучком света ( то есть угол принадлежит непрерывному интервалу значений ) выходная собирающая линза формирует в плоскости экрана светлые и темные чередующиеся интерференционные полосы, имеющие форму концентрических колец. Номер колец, то есть порядок интерференционных максимумов и минимумов убывает от центра к периферии.

Рис.2.10 Принципиальная схема экспериментальной

установки Фабри – Перо.

Зависимость интенсивности результирующего прошедшего пучка резко отличается от функции вида характерной для двухлучевой интерференции. Чем больше R, тем острее становятся максимумы, разделяемые широкими минимумами, одновременно увеличивается видность картины:

(2.34)

Кривые 1 – 6 соответствуют увеличению коэффициента отражения от 0,04 до 0,90.

Практически неограниченное сужение максимумов пропускания при многолучевой интерференции позволяет реализовать на основе этого явления исключительно точные спектральные измерительные устройства.

Рис.2.11 Полосы равного наклона на экране Е в проходящем пучке.

Рис.2.12 Полосы равного наклона на экране Е в отраженном пучке (на Рис.2.10 не изображен ).