Принцип суперпозиции. Понятие о когерентности волн

ОПТИКА. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

Лекция 1.

Закон независимости световыхпучковозначает, что световые пучки, встречаясь, не воздействуют друг на друга. При этом, однако, возникает следующий вопрос. В силу принципа суперпозиции при сложении отдельных волн может получиться волна, ам­плитуда которой равна, например, сумме амплитуд складывающихся волн. А так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, то интенсивность результирующей волны не будет, вообще говоря, равна сумме интенсивностей складывающихся волн, ибо квадрат суммы нескольких величин не равен сумме их квадратов. Обычный же опыт показывает, что освещенность, создаваемая двумя или несколькими световыми пучками, представляется простой суммой освещённостей, создаваемых отдельными пучками. Таким образом, обычные экспериментальные факты кажутся на первый взгляд противоречащими волновым представлениям.

Для выяснения этой фундаментальной проблемы напомним сведения, относящиеся к сложению колебаний.

При сложении двух гармонических колебаний одного периода

, (1)

происходящих по одному направлению, получится вновь гармоническое колебание того же периода: (2) амплитуда А и фаза θ которого определяются из следующих соотношений:

(3)

Первое соотношение (3) показывает, что квадрат амплитуды результирующего колебания не равняется сумме квадратов амплитуд складывающихся колебаний, т.е. энергия результирующего колебания не равна сумме энергий складывающихся колебаний. Результат сложения зависит от разности фаз (φ₁-φ₂) исходных колебаний и может иметь любое значение в пределах от при (φ₁-φ₂)=π до (при (φ₁-φ₂)=0 ).

Однако практически мы никогда не имеем дела со строго гармоническими колебаниями, т.е. колебаниями, длящимися бесконечно долго с неизменной амплитудой. Обычно колебания время от времени обрываются и возникают вновь уже с иной фазой. В таком случае и результирующая интенсивность также меняется с течением времени.

При сложении двух колебаний одного периода надо различать два случая.

1. Разность фаз колебаний сохраняется неизменной за время достаточное для наблюдений. Средняя энергия результирующего колебания отличается от суммы средних энергий исходных колебаний и может быть больше или меньше неё в зависимости от разности фаз. В этом случае колебания называются когерентными. Сложение колебаний, при котором не имеет места суммирование интенсивностей, мы будем называть интерференцией колебаний.

2. Разность фаз колебаний быстро и беспорядочно меняется за время наблюдения. Средняя энергия результирующего колебания равна сумме средних энергий исходных колебаний (среднее значение cos(φ₁-φ₂) за время наблюдения в этом случае равно нулю). Колебания в этом случае называются некогерентными . При их сложении всегда наблюдается суммирование интенсивностей, т.е. интерференция не имеет места.

Итак, результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты зависит от соотношения между их фазами.

Интерференция волн.

Стоячие волны

Частным случаем интерференции являются стоячие волны - волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу волн с одинаковыми амплитудами н частотами.

Для вывода уравнения стоячей волны примем: 1) волны распространяются в среде без затухания; 2) А₁ = А₂ =А - имеют равные амплитуды; 3) ω₁ = ω₂= ω - равные частоты; 4)φ₁₀ = φ₂₀ = 0.

Уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х (т.е. уравнение падающей волны):

(1)

Уравнение бегущей волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х (т.е. уравнение отраженной волны):

(2)

Сложив (1) и (2) получим уравнение стоячей волны:

Особенностью стоячей волны является то, что амплитуда зависит от координаты х. При перемещении от одной точки к другой амплитуда меняется по закону:

- амплитуда стоячей волны.

Те точки среды, в которых амплитуда стоячей волны максимальна и равна 2А, называются пучностями. Координаты пучностей можно найти из условия, что

отсюда

Расстояние между двумя соседними пучностями равно .

Точки, в которых амплитуда стоячей волны минимальна и равна 0 , называются узлами. Координата узлов можно найти из условия

отсюда

Расстояние между двумя соседними узлами равно .

В отличие от бегущей волна, все точки которой колеблются с одинаковой амплитудой, но с разными фазами, зависящими от координаты х точки ( ), точки стоячей волны между двумя узлами колеблется с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами( ). При переходе через узел множитель меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на π, т.е. точки лежащие по разные стороны от узла колеблются в противофазе.

Стоячая волна получается в результате интерференции падающей и отраженной волн. На характере отражения сказывается граница раздела двух сред, от которой происходит отражение. Если волна отражается от среды менее плотной (рис. а), то фаза волны на границе раздела не меняется и на границе раздела двух сред будет пучность. Если волна отражается от более плотной среды, то её фаза изменяет­ся на противоположную, т.е. отражение от более плотной среды происходит с потерей половины длины волны (λ/2). Бегущая волна переносит энергию колебательного движения в направлении распространения волны. Стоячая волна энергию не переносит, т.к. падаюшая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узлами остается постоянной. Лишь в пределах расстояний равных λ/2 происходит превращение кинетической энергии в потенциальную.

ОПТИКА. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

Лекция 1.

Закон независимости световыхпучковозначает, что световые пучки, встречаясь, не воздействуют друг на друга. При этом, однако, возникает следующий вопрос. В силу принципа суперпозиции при сложении отдельных волн может получиться волна, ам­плитуда которой равна, например, сумме амплитуд складывающихся волн. А так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, то интенсивность результирующей волны не будет, вообще говоря, равна сумме интенсивностей складывающихся волн, ибо квадрат суммы нескольких величин не равен сумме их квадратов. Обычный же опыт показывает, что освещенность, создаваемая двумя или несколькими световыми пучками, представляется простой суммой освещённостей, создаваемых отдельными пучками. Таким образом, обычные экспериментальные факты кажутся на первый взгляд противоречащими волновым представлениям.

Для выяснения этой фундаментальной проблемы напомним сведения, относящиеся к сложению колебаний.

При сложении двух гармонических колебаний одного периода

, (1)

происходящих по одному направлению, получится вновь гармоническое колебание того же периода: (2) амплитуда А и фаза θ которого определяются из следующих соотношений:

(3)

Первое соотношение (3) показывает, что квадрат амплитуды результирующего колебания не равняется сумме квадратов амплитуд складывающихся колебаний, т.е. энергия результирующего колебания не равна сумме энергий складывающихся колебаний. Результат сложения зависит от разности фаз (φ₁-φ₂) исходных колебаний и может иметь любое значение в пределах от при (φ₁-φ₂)=π до (при (φ₁-φ₂)=0 ).

Однако практически мы никогда не имеем дела со строго гармоническими колебаниями, т.е. колебаниями, длящимися бесконечно долго с неизменной амплитудой. Обычно колебания время от времени обрываются и возникают вновь уже с иной фазой. В таком случае и результирующая интенсивность также меняется с течением времени.

При сложении двух колебаний одного периода надо различать два случая.

1. Разность фаз колебаний сохраняется неизменной за время достаточное для наблюдений. Средняя энергия результирующего колебания отличается от суммы средних энергий исходных колебаний и может быть больше или меньше неё в зависимости от разности фаз. В этом случае колебания называются когерентными. Сложение колебаний, при котором не имеет места суммирование интенсивностей, мы будем называть интерференцией колебаний.

2. Разность фаз колебаний быстро и беспорядочно меняется за время наблюдения. Средняя энергия результирующего колебания равна сумме средних энергий исходных колебаний (среднее значение cos(φ₁-φ₂) за время наблюдения в этом случае равно нулю). Колебания в этом случае называются некогерентными . При их сложении всегда наблюдается суммирование интенсивностей, т.е. интерференция не имеет места.

Итак, результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты зависит от соотношения между их фазами.

Интерференция волн.

Принцип суперпозиции. Понятие о когерентности волн

Если в среде распространяется несколько волн одновременно, то колебания частиц среды равны геометрической сумме колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются, не возмущая друг друга – принцип суперпозиции (наложения) волн.

Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени

-
условие когерентности.

Источники когерентных волн называются когерентными источниками.

т.к. для когерентных источников разность начальных фаз , то амплитуда А_резв различных точках зависит от величины , называемой разностью хода. Если

то наблюдается максимум.

При

наблюдается минимум.

При наложении волн от когерентных источников наблюдаются минимумы и максимумы, результирующей амплитуды, т.е. взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих, волн - суть явления интерференции.

Стоячие волны

Частным случаем интерференции являются стоячие волны - волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу волн с одинаковыми амплитудами н частотами.

Для вывода уравнения стоячей волны примем: 1) волны распространяются в среде без затухания; 2) А₁ = А₂ =А - имеют равные амплитуды; 3) ω₁ = ω₂= ω - равные частоты; 4)φ₁₀ = φ₂₀ = 0.

Уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х (т.е. уравнение падающей волны):

(1)

Уравнение бегущей волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х (т.е. уравнение отраженной волны):

(2)

Сложив (1) и (2) получим уравнение стоячей волны:

Особенностью стоячей волны является то, что амплитуда зависит от координаты х. При перемещении от одной точки к другой амплитуда меняется по закону:

- амплитуда стоячей волны.

Те точки среды, в которых амплитуда стоячей волны максимальна и равна 2А, называются пучностями. Координаты пучностей можно найти из условия, что

отсюда

Расстояние между двумя соседними пучностями равно .

Точки, в которых амплитуда стоячей волны минимальна и равна 0 , называются узлами. Координата узлов можно найти из условия

отсюда

Расстояние между двумя соседними узлами равно .

В отличие от бегущей волна, все точки которой колеблются с одинаковой амплитудой, но с разными фазами, зависящими от координаты х точки ( ), точки стоячей волны между двумя узлами колеблется с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами( ). При переходе через узел множитель меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на π, т.е. точки лежащие по разные стороны от узла колеблются в противофазе.

Стоячая волна получается в результате интерференции падающей и отраженной волн. На характере отражения сказывается граница раздела двух сред, от которой происходит отражение. Если волна отражается от среды менее плотной (рис. а), то фаза волны на границе раздела не меняется и на границе раздела двух сред будет пучность. Если волна отражается от более плотной среды, то её фаза изменяет­ся на противоположную, т.е. отражение от более плотной среды происходит с потерей половины длины волны (λ/2). Бегущая волна переносит энергию колебательного движения в направлении распространения волны. Стоячая волна энергию не переносит, т.к. падаюшая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узлами остается постоянной. Лишь в пределах расстояний равных λ/2 происходит превращение кинетической энергии в потенциальную.