При определении долговечности в зонах концентрации напряжений

Как было показано Г.Нейбером [11], при неупругом деформировании в зонах концентрации напряжений с вполне приемлемой для инженерных расчетов точностью выполняется условие

kk= , (23)

где k= max/н, k= max/н– коэффициенты концентрации напряжений и деформаций с учетом неупругой работы материала;

max– максимальное «неупругое» напряжение в зоне концентрации;

max= (max /E+ p max) – максимальная полная деформация в зоне концентрации;

kТ– теоретический коэффициент концентрации напряжений, сведения о его значениях для различных конструктивных элементов в зависимости от соотношения геометрических параметров при различных видах нагрузки приводятся в справочной литературе, например, [12];

н£ пц– номинальное (без учета концентрации) напряжение в пределах упругой работы материала. В этом случае при линейном напряженном состоянии номинальная деформация e нопределяется по закону Гука – .

Напомним, что теоретический коэффициент концентрации напряжений kТхарактеризует отношение максимального напряжения maxв опасной точке зоны концентрации к номинальному н(без учета концентрации) напряжению для линейно упругого материала, следовательно, в рамках гипотезы малости деформаций применим принцип суперпозиции:

;

здесь kТ i , нi- теоретический коэффициент концентрации и номинальное напряжение в опасной точке элемента конструкции, отвечающие i-ой нагрузке, причем каждая из нагрузок должна порождать напряженное состояние одного и того же вида.

Таким образом (см. выражение (23)), максимальные «неупругие» на­пряжение и деформацию можно связать с номинальным напряжением н:

.

При циклическом нагружении последнее соотношение по аналогии записывают в виде

;

здесь max а– максимальное значение амплитуды неупругого напряжения в зоне концентрации;

max а = (max а/Е +max pа) – соответствующее значение амплитуды полной деформации в зоне концентрации;

а ном– амплитуда номинального упругого напряжения без учета концентрации.

Амплитуда напряжения max аи деформации max асвязаны между собой уравнением циклической кривой (см. подразделы 6.1, 6.2):

.

На рис.20 показано графическое построение, поясняющее, как с помо­щью формулы Нейбера можно получить значение max pа, необходимое для определения долговечности по формуле Мэнсона-Коффина

.

Рис.20. Применение подхода Нейбера к определению амплитуд напряжения и пла­стической деформации в опасной точке

В том случае, когда характеристики цикла max а ,max pав зоне концентрации напряжений не представляют интереса, может быть записано уравнение для непосредственного определения долговечности Nfв опасной точке. Для этого достаточно в формулу Нейбера подставить уравнения кривых усталости по Морроу и Мэнсону-Коффину (21):

.

При заданной долговечности Nfи известном теоретическом коэффициенте концентрации kТс помощью этого уравнения нетрудно найти отвечающую ей амплитуду а ном. Если же известен параметр а ном, долговечность Nf определится решением трансцендентного уравнения. С этой целью может быть использован, например, пакет MathCAD.

Ситуация несколько усложняется, если неупругое деформирование конструкции происходит не только в локальной зоне вблизи концентратора напряжений, иными словами, когда амплитуда номинального напряжения превосходит циклический предел пропорциональности материала:

а ном ³ а пц.

В этом случае можно воспользоваться так называемым расширенным подхо-

Рис.21. Применение расширенного подхода Нейбера к определению амплитуд напряжения и деформации в опасной точке

дом Нейбера. Порядок его применения иллюстрирует рис. 21. Для большей наглядности соответствующая схема представлена в осях «амплитуда напряжения ~ амплитуда полной деформации». Полагаем, что значения амплитуд номинального напряжения и деформации заданы, а уравнение циклической кривой и величина теоретического коэффициента концентрации известны.

Вначале, формально приняв kТ = 1, производится переход по гиперболе (линия I) до прямой, отвечающей упругой работе материала:

Последующие действия, по сути, повторяют изложенную выше в рамках классического подхода Нейбера процедуру. Подъем по линии II соответствует увеличению амплитуд фиктивных упругих номинальных напряжения и деформации в kТ раз:

И, наконец, спускаясь по второй гиперболе (линия III) до пересечения с циклической кривой деформирования, получаем искомые параметры max аи max а(max ра)цикла в опасной точке в зоне концентрации,

С помощью подхода Нейбера – классического или расширенного –решается и обратная задача: по известным

– числу циклов до разрушения (образования макротрещины) в области концентрации напряжений,

– величине теоретического коэффициента концентрации,

– уравнениям кривых усталости по Мэнсону–Коффину и Морроу, а также циклической кривой (последнюю, как уже было сказано выше, можно получить с помощью первых двух)

могут быть определены величины амплитуд номинальных напряжения а номи деформаций eа ном, ра ном.