Агрегатные индексы. Система индексов.

Основной формой общих индексов является агрегатная. В числителе и знаменателе общих индексов в агрегатной форме содержатся соединенные наборы (агрегаты) элементов изучаемых статистических совокупностей.

Веса в агрегатных индексах применяются для достижения сопоставимости разнородных единиц сложных совокупностей, то есть для перехода к однородным показателям. Для выявления влияния какого-либо конкретного фактора на индексируемую величину веса фиксируются на одном уровне (текущего или базисного периода).

Условием применения агрегатной формы индексов является наличие данных о количественных характеристиках изучаемого явления (товара, продукции и т. п.) в натуральных измерителях и данные о стоимости единицы количественного показателя.

1) Рассчитаем общий индекс динамики товарооборота в фактически действовавших ценах:
(4) или 140,8%
Данный индекс показывает, что товарооборот отчетного периода в фактически действовавших ценах вырос по сравнению с товарооборотом базисного периода на 40,8% или на 347000 рублей.
Общий прирост (снижение) явления рассчитывается как разность числителя и знаменателя данного агрегатного индекса:

2) Агрегатный индекс физического объема товарооборота имеет вид:
(5) или126,7%
Данный индекс показывает изменение объёма товарооборота в отчетном периоде по сравнению с базисным в сопоставимых ценах, то есть ценах, зафиксированных на уровне базисного периода.
Таким образом, устраняется влияние цен и определяется рост (снижение) товарооборота вследствие изменения количества проданных товаров, в нашем примере, это рост товарооборота на 26,7% или на 227000 рублей (Абсолютный прирост, снижение определяются аналогично как с индексом I_qp)
Правило: в индексах, характеризующих динамику объемов продаж и производства продукции, количества чего-либо, взвешивание производится по ценам базисного периода (прошлого), чтобы устранить влияние изменения цен на величину индекса.

3) Агрегатная форма индекса цен имеет вид:
(6) или 111,1%, называется индексом Пааше, так как был предложен немецким экономистом Г. Пааше.
Этот индекс показывает изменение уровня цен по конкретной массе товаров; в данном примере, что в отчетном периоде по сравнению с базисным цены повысились в среднем на 11,1%, вследствие чего товарооборот вырос на 120000 рублей.

Разница между числителем и знаменателем общего индекса цен показывает абсолютное изменение (экономию или перерасход) денежных средств, потраченных на приобретение товаров населением.

Правило: в индексах качественных показателей веса берутся на уровне отчетного периода.

Существует другой способ определения агрегатного индекса цен, предложенный немецким экономистом Э. Ласпейресом:

(7) - индекс Ласпейреса.

Индексы Пааше и Ласпейреса характеризуют различные качественные особенности изменения цен и поэтому не совпадают при расчете. Индекс Пааше характеризует влияние изменения цен на стоимость товаров, реализованных в отчетном периоде. Индекс Ласпейреса характеризует влияние изменения цен на стоимость товаров, реализованных в базисном периоде.

Индексный метод применяется для выявления и количественного определения влияния отдельных факторов на изменение сложных явлений. Для этого используются системы индексов (взаимосвязанные индексы). Чтобы образовать систему индексов, необходимо веса в разных индексах брать на уровне разных временных периодов.

Рассмотренные выше три индекса: общий индекс динамики товарооборота, общий индекс физического объема товарооборота и общий индекс цен образуют систему индексов:

(8)

(9)

В данной системе изменение товарооборота в фактически действовавших ценах в отчетном периоде по сравнению с базисным зависит от изменения количества проданных товаров в натуральных измерителях (индекс физического объема) и от изменения цен на проданные товары (индекс цен).

Абсолютное изменение фактического товарооборота (прирост, снижение) также зависит от изменения физического объема реализации товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным и от изменения цен за аналогичные временные периоды.

(10)

Взаимосвязанные общие индексы применяются во многих других случаях: для анализа производственной деятельности предприятий применяются индекс стоимости продукции, индекс оптовых цен и индекс физического объема продукции; для анализа затрат на производство – индекс себестоимости продукции, индекс физического объема продукции и индекс затрат на производство и т. п.

Так общий индекс затрат на производство имеет вид:

(11) , где

Z₁, Z₀ - себестоимость единицы продукции в текущем, базисном периоде соответственно

q₁, q₀ - количество произведенной продукции в текущем, базисном периоде соответственно

Общий индекс физического объема продукции рассчитывается как:

(12) Общий индекс себестоимости имеет вид: (13)

Числитель этого индекса отражает затраты на производство текущего периода, а знаменатель – условную величину затрат при сохранении себестоимости на базисном уровне. Разность числителя и знаменателя покажет сумму экономии (перерасхода) предприятия от снижения себестоимости единицы продукции.

Все три индекса взаимосвязаны: (14)

Индексный метод применяется и для анализа изменений производительности труда двумя способами:

a) через прямой показатель производительности труда (выработка) – количества продукции, выработанной в единицу времени или на одного работника (w);

b) через ее обратный показатель - трудоемкость, то есть затраты рабочего времени на производство единицы продукции (t)

Прямой и обратный показатели производительности взаимосвязаны:

(15)

Индивидуальные индексы производительности труда имеют вид:

(16) или

(17) , где

T₁, T₀ – суммарные затраты времени на выпуск данной продукции в человеко-часах, человеко-днях или человеко-месяцах (общая численность работников), соответственно, за текущий и базисный периоды.

Общий индекс производительности труда (по трудоемкости) имеет вид:

(18) , где

- общие затраты времени на выпуск продукции в текущем периоде, то есть Т₁

- условные затраты времени на выпуск этой продукции при неизменной трудоемкости.

Данный индекс связан с индексом затрат рабочего времени (труда) и с индексом физического объема продукции, взвешанным по трудоемкости

(19) или

(20)

При расчете общего индекса производительности труда в стоимостном выражении (по выработке) необходимо количество продукции, произведенной за каждый период, взвесить по ценам, принятым за сопоставимые (цены текущего, базисного период, средние цены).

(21)

В данном индексе средняя выработка в текущем периоде сравнивается со средней выработкой в базисном периоде.

Умножив индекс производительности труда по выработке на индекс затрат рабочего времени получим индекс физического объема продукции, взвешенного по цене:

(22) или

(23)

Средние индексы.

Любой общий индекс можно представить как среднюю взвешенную из индивидуальных индексов (вторая форма выражения общих индексов). При этом форму средней нужно выбрать таким образом, чтобы полученный средний индекс был тождественен исходному агрегатному индексу. Применяются две формы: средняя арифметическая форма и средняя геометрическая форма (для расчета общих индексов).

1)В тех случаях когда отсутствуют данные о количестве товаров (продукции) в натуральных измерителях, но есть информация о стоимости реализованных товаров (произведенной продукции) и индивидуальные индексы изменения объемов товаров (продукции), можно определить агрегатный индекс физического объема товарооборота (продукции) по средней арифметической форме .
(24) , где

Чтобы средний арифметический индекс был тождественен агрегатному, весами индивидуальных индексов в нем должны быть взяты слагаемые знаменателя исходного агрегатного индекса.

2)В тех случаях, когда нет информации о количестве товаров (продукции) в натуральной форме, но есть учет реализации товаров (производства продукции) в стоимостном выражении и индивидуальные цены на товары (продукцию), для определения сводных показателей изменения цен применяется средняя гармоническая форма.
(25) , где

Чтобы средний гармонический индекс был тождественен агрегатному, весами индивидуальных индексов в нем должны быть взяты слагаемые числителя исходного агрегатного индекса.

Территориальные индексы.

Территориальные индексы служат для сравнения показателей в пространстве, то есть по предприятиям, городам, регионам и т. п.

Построение территориальных индексов определяется выбором базы сравнения и весов или уровня, на котором фиксируются веса. При двусторонних сравнениях каждая территория может быть сравниваемой (числитель индекса) и базой сравнения (знаменатель). Веса и первой и второй территории могут быть использованы при расчете индекса, но это может привести к противоречивым результатам. Поэтому предлагается два способа расчета территориальных индексов.

1) В качестве весов принимаются объемы проданных товаров (произведенной продукции) по двум вместе взятым регионам: (33)

Территориальный индекс цен тогда имеет вид:

(34) , где Р_а, Р_в – цена единицы товара (продукции) на территориях а и в.

В качестве весов здесь можно использовать структуру продажи данных товаров (продукции) по более крупной территории (республике, например).

2) При втором способе расчета учитывается соотношение весов сравниваемых территорий. Рассчитывается средняя цена каждого товара по двум территориям вместе:

(35) , потом индекс цен (36)

Данный подход к расчету территориального индекса цен обеспечивает взаимосвязь:

Индекс физического объема товарооборота (производства) имеет вид:

.(37)

Тогда система индексов имеет вид:

(38)