Средняя арифметическая и ее свойства
Средняя арифметическая является самой распространенной из средних, применяемых в социально-экономическом анализе. Средняя арифметическая имеет 2 разновидности – простую и взвешенную.
Средняя арифметическая простая рассчитывается по индивидуальным величинам одного и того же вида:
,
где x1, x2, …, xn – индивидуальные значения признака (варианты), n – число индивидуальных величин.
Применяется в тех случаях, когда каждое индивидуальное значение признака встречается одинаковое число раз, т.е. средняя рассчитывается по группированным единицам совокупности.
Пример 6.1. Вычислить средний возраст выпускника ВУЗа, возраст которого: 24, 22, 25, 24, 25, 24, 22, 22, 24, 26 лет.
Расчёт по средней арифметической простой:
года.
Чаще отдельные значения исследуемой совокупности встречаются не один, а много, причем неодинаковое число раз, т.е. представляют собой ряд распределения. В этих случаях рассчитывают среднюю арифметическую взвешенную:
,
где fi - частота (вес) повторения i-й варианты.
Пример 6.2. Для предыдущего примера сгруппируем возраст выпускников по их числу.
Возраст, xi | Число выпускников, fi | Сумма возрастов, xi·fi |
Сумма |
.
Также часто группировочные признаки представлены не одной величиной, а в определенных интервалах, такие ряды называются интервальными. Средняя арифметическая интервального ряда рассчитывается следующим образом:
,
где - середина i-го интервала, - верхняя граница i-го интервала, - нижняя граница i-го интервала, fi - частота (вес) i-го интервала.
Пример 6.3. Распределение рабочих предприятия по возрасту следующее
Группы рабочих по возрасту, лет | Число рабочих, fi | Середина интервала, | |
До 20 | 18,5 | ||
20-30 | |||
30-40 | |||
40-50 | |||
Старше 50 | 57,5 | ||
Итого | - |
Минимальный возраст в первом интервале можно считать 17 (выпускники техникумов), максимальный возраст в последнем интервале – 65 (5 лет после пенсионного возраста мужчин). Тогда средний возраст рабочих составит
лет.
Свойства средней арифметической:
1) Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических величин.
Если xi=yi+zi, то
.
2) Сумма отклонений значений признака от средней арифметической равна 0.
3) Если все варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число, то средняя уменьшится или увеличится на то же число.
4) Если все варианты ряда умножить или разделить на одно и то же число, то средняя уменьшится или увеличится во столько же раз.
5) Если все частоты разделить или умножить на одно и то же число, то средняя не изменится.
Это свойство даёт возможность частоты заменять их удельными весами
,
где р - удельный вес, выраженный в процентах.
Если удельный вес выражается в долях, то .